Задание №17 (С3) Т/Р №96 А. Ларина

Смотрите также №15,  №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство

$\sqrt{1-log_5(x^2-2x+2)}<\frac{1}{2}log_{\sqrt5}(5x^2-10x+10).$

Решение:

$\sqrt{1-log_5(x^2-2x+2)}<log_5(5x^2-10x+10);$

$\begin{cases}1-log_5(x^2-2x+2)<(log_5(5(x^2-2x+2)))^2,\\1-log_5(x^2-2x+2)\geq 0,\\log_5(5(x^2-2x+2))\geq 0;\end{cases}$

$\begin{cases}1-log_5(x^2-2x+2)<(1+log_5(x^2-2x+2))^2,\\log_5(x^2-2x+2)\leq 1,\\1+log_5(x^2-2x+2)\geq 0;\end{cases}$

$\begin{cases}1-log_5(x^2-2x+2)<1+2log_5(x^2-2x+2)+log_5^2(x^2-2x+2),\\log_5(x^2-2x+2)\leq 1,\\log_5(x^2-2x+2)\geq -1;\end{cases}$

$\begin{cases}log_5^2(x^2-2x+2)+3log_5(x^2-2x+2)>0,\\-1\leq log_5(x^2-2x+2)\leq 1;\end{cases}$

$\begin{cases}log_5(x^2-2x+2)(log_5(x^2-2x+2)+3)>0,\\-1\leq log_5(x^2-2x+2)\leq 1;\end{cases}$

$0<log_5(x^2-2x+2)\leq 1;$

$log_51<log_5(x^2-2x+2)\leq log_55;$

$1<x^2-2x+2\leq 5;$

$\begin{cases}x^2-2x+2\leq 5,\\x^2-2x+2>1;\end{cases}$

$\begin{cases}x^2-2x-3\leq 0,\\x^2-2x+1>0;\end{cases}$

$\begin{cases}(x-3)(x+1)\leq 0,\\(x-1)^2>0;\end{cases}$

$x\in[-1;1)\cup (1;3].$

Ответ: $[-1;1)\cup (1;3].$