Задание №15 (С1) Т/Р №96 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.

Дано уравнение: $log_2(2-cosx)=1+2log_2(-sinx)$

a) Решите уравнение;

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[\pi;\frac{5\pi}{2}].$

Решение:

a)

$log_2(2-cosx)=1+2log_2(-sinx);$

Заметим, что $2log_2(-sinx)=log_2(sin^2x)$ при условии (!) $sinx<0.$

Тогда переходим к системе:

$\begin{cases}log_2(2-cosx)=log_22+log_2(sin^2x),\\sinx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}log_2(2-cosx)=log_2(2sin^2x),\\sinx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}2-cosx=2sin^2x,\\sinx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}2(1-cos^2x)+cosx-2=0,\\sinx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}2cos^2x-cosx=0,\\sinx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}cosx=0,\\cosx=\frac{1}{2};\end{array}\right.\\sinx<0;&\end{cases}$

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z$  или $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$

б) Отбор корней производим при помощи тригонометрического круга:

Ответ: 

а) $-\frac{\pi}{2}+2\pi n$, $-\frac{\pi}{3}+2\pi k,k,n\in Z;$

б) $\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{3}.$