C5 (№20) с ловушкой, не попадитесь!

Решение:

Распространенной ошибкой при выполнении этого задания является следующий переход:

Но нельзя забывать, что

Поэтому, если  , то  

а если  , то

Верные рассуждения:

1) Если , то

2) Если , то

Кстати, можете заглянуть сюда (пример 7), где приходится сталкиваться   с нечто подобным.

Итак, имеем следующую  совокупность:

Уравнения (1)  и (2) рассматриваем как квадратные относительно

Замечаем, что по т. Виета   из (1) уравнения может равняться

или ,

(действительно, – свободный член (1) – произведение   и , а средний коэффициент, то есть 3, есть сумма   и , взятая с противоположным знаком. 

Из (2)  может равняться

или .

Оговорим следующий важный момент:

При   – возрастающая функция.

Действительно,

при .

При этом  область значений  – .

Поэтому при некотором уравнение гарантированно будет нам выдавать один корень .

Аналогично,   убывает при  (а точнее, при ). При этом  область значений  – .

Поэтому при некотором уравнение гарантированно будет нам выдавать один корень .

1) Замечаем, что при и

 ,

и

,

– противоположные числа.

Если и   одинаковы по знаку (а тогда и и одинаковы по знаку ), то одно из уравнений совокупности будет нам выдавать 0 корней, другое – два. Итого – исходное уравнение имеет более 1 корня.

Если знаки  и   различны (а тогда и и различаются по знаку ), то  каждое уравнение (1), (2) выдает нам по корню. Итого – исходное уравнение имеет более 1 корня.

2) При или , как несложно проверить (проверьте сами), исходное уравнение имеет более 1 корня.

3) Осталось рассмотреть вариант

В этом случае

, a .

То есть одно из уравнений совокупности не имеет корней, второе – один корень. Итого – исходное уравнение имеет 1 корень.

Ответ: