C5 (№20) с ловушкой, не попадитесь!

Решение:

Распространенной ошибкой при выполнении этого задания является следующий переход:

$(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=\sqrt{(x-3)(x+1)}$

Но нельзя забывать, что

$\color{red}\sqrt{a^2}=|a|$

Поэтому, если  $a\geq 0$, то  $\sqrt{a^2}=a,$

а если  $a<0$, то $\sqrt{a^2}=-a$

Верные рассуждения:

1) Если $x-3>0$, то

$(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=\sqrt{(x-3)^2}\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=\sqrt{(x-3)(x+1)}$

2) Если $x-3<0$, то

$(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=-\sqrt{(x-3)^2}\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=-\sqrt{(x-3)(x+1)}$

Кстати, можете заглянуть сюда (пример 7), где приходится сталкиваться   с нечто подобным.

Итак, имеем следующую  совокупность:

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>3,\\(x-3)(x+1)+3\sqrt{(x-3)(x+1)}=(a-1)(a+2);\;(1)\end{cases};\\\begin{cases}x<3,\\(x-3)(x+1)-3\sqrt{(x-3)(x+1)}=(a-1)(a+2);\;(2)\end{array}\right.$

Уравнения (1)  и (2) рассматриваем как квадратные относительно $\sqrt{(x-3)(x+1)}.$

Замечаем, что по т. Виета  $\sqrt{(x-3)(x+1)}$ из (1) уравнения может равняться

$a-1$ или $-(a+2)$,

(действительно, – свободный член (1) – произведение  $a-1$ и $-(a+2)$, а средний коэффициент, то есть 3, есть сумма  $a-1$ и $-(a+2)$, взятая с противоположным знаком. 

Из (2) $\sqrt{(x-3)(x+1)}$ может равняться

$-(a-1)$ или $a+2$.

Оговорим следующий важный момент:

При $x>3$ $y=\sqrt{(x-3)(x+1)}$ – возрастающая функция.

Действительно,

$(\sqrt{(x-3)(x+1)})’=\frac{2x-2}{2\sqrt{(x-3)(x+1)}}>0$ при $x>3$.

При этом  область значений  – $(0;+\infty)$.

Поэтому при некотором $b>0$ уравнение $\sqrt{(x-3)(x+1)}=b$ гарантированно будет нам выдавать один корень $x$.

Аналогично,  $y=\sqrt{(x-3)(x+1)}$ убывает при $x<3$ (а точнее, при $x\leq -1$). При этом  область значений  – $[0;+\infty)$.

Поэтому при некотором $b\geq 0$ уравнение $\sqrt{(x-3)(x+1)}=b$ гарантированно будет нам выдавать один корень $x$.

1) Замечаем, что при $a\neq 1$ и $a\neq -2$

 $a-1$, $-(a-1)$

и

$a+2$, $-(a+2)$

– противоположные числа.

Если $a-1$ и $-(a+2)$  одинаковы по знаку (а тогда и $-(a-1)$ и $a+2$ одинаковы по знаку ), то одно из уравнений совокупности будет нам выдавать 0 корней, другое – два. Итого – исходное уравнение имеет более 1 корня.

Если знаки $a-1$ и $-(a+2)$  различны (а тогда и $-(a-1)$ и $a+2$ различаются по знаку ), то  каждое уравнение (1), (2) выдает нам по корню. Итого – исходное уравнение имеет более 1 корня.

2) При $a=1$ или $a=-2$, как несложно проверить (проверьте сами), исходное уравнение имеет более 1 корня.

3) Осталось рассмотреть вариант $a=-0,5.$

В этом случае

$a-1=-(a+2)=-1,5$, a $-(a-1)=a+2=1,5$.

То есть одно из уравнений совокупности не имеет корней, второе – один корень. Итого – исходное уравнение имеет 1 корень.

Ответ: $-0,5.$