Задание №18 Т/Р №108 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.
a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла BAC равен 0,3.

Решение:

a) Треугольники APC, CKA равны по второму признаку (\angle A=\angle C, \angle KAC=\angle PCA, AC=AC). Следовательно, AP=CK.

Треугольники APM, CKM равны по первому признаку (AP=CK,AM=CM,\angle A=\angle C).

Следовательно, PM=KM.

Что и требовалось доказать.

б) Так как cosA=0,3 по условию, то пусть AM=3x, AB=10x.

По свойству биссектрисы AB:AC=BK:CK.

Имеем:

10:6=BK:(10x-BK);

50x-5BK=3BK;

BK=\frac{25x}{4}.

Тогда коэффициент подобия треугольников PKB, ACB – это \frac{25x}{4}:(10x), то есть \frac{5}{8}.

Помним, что отношение площадей подобных треугольников есть k^2, где k – коэффициент подобия.

Значит, S_{PKB}=(\frac{5}{8})^2\cdot S_{ABC}=25.

Заметим, что S_{APM}=S_{CKM}=\frac{1}{2}AP\cdot AM\cdot Sin A=\frac{\frac{15x}{4}\cdot 3x\cdot Sin A}{2}=\frac{45x^2SinA}{8}.

При этом S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot Sin A=\frac{10x\cdot 6x\cdot Sin A}{2}=30x^2SinA. То есть S_{APM}=S_{CKM}=\frac{3}{16}S_{ABC}.

Итак, S_{KMP}=64-2\cdot \frac{3\cdot 64}{16}-25=15.

Ответ: 15.

Вы можете найти аналогичную задачу здесь.

Печать страницы
Комментариев: 11
  1. Искандер

    Почему из того, что косинус угла ВАС равен 0,3, следует, что AM/AB=0,3? Ведь треугольник АВМ не прямоугольный

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Почему это треугольник ABM не прямоугольный?

      [ Ответить ]
      • Искандер

        А, я забыл, что треугольник АВС равнобедренный

        [ Ответить ]
  2. Дарья

    По какому признаку подобны треугольники PKB и ACB?

    [ Ответить ]
    • Дарья

      По 2 углам? (По первому признаку)?

      [ Ответить ]
      • egeMax

        Да.

        [ Ответить ]
  3. Юлия

    Добрый вечер.

    Хочу сообщить об ошибке – у вас при нахождении площадей треугольников APM и ABC пропущен sin A.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Юлия, спасибо. Да уж, затерялся в серединке слегка. Исправлено.

      [ Ответить ]
  4. Кэль

    Объясните простому человеку: на каком основании вы применяете теорему о свойстве биссектрисы, если АК таковой не является, ведь по условию АК- высота.

    [ Ответить ]
  5. Ольга

    На каком основании вы применяете теорему о свойстве биссектрисы? АК ведь таковой не является.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Почитайте условие! О том, что AK – биссектриса, говорится в условии!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif