Задание №18 Т/Р №108 А. Ларина

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены биссектрисы $AK$, $BM$, $CP$.

a) Докажите, что треугольник $KMP$ – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $KMP$, если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна 64, а косинус угла $BAC$ равен 0,3.

Решение:

a) Треугольники $APC$, $CKA$ равны по второму признаку ($\angle A=\angle C, \angle KAC=\angle PCA, AC=AC$). Следовательно, $AP=CK.$

Треугольники $APM, CKM$ равны по первому признаку ($AP=CK,AM=CM,\angle A=\angle C$).

Следовательно, $PM=KM.$

Что и требовалось доказать.

б) Так как $cosA=0,3$ по условию, то пусть $AM=3x, AB=10x.$

По свойству биссектрисы $AB:AC=BK:CK.$

Имеем:

$10:6=BK:(10x-BK);$

$50x-5BK=3BK;$

$BK=\frac{25x}{4}.$

Тогда коэффициент подобия треугольников $PKB, ACB$ – это $\frac{25x}{4}:(10x),$ то есть $\frac{5}{8}.$

Помним, что отношение площадей подобных треугольников есть $k^2$, где $k$ – коэффициент подобия.

Значит, $S_{PKB}=(\frac{5}{8})^2\cdot S_{ABC}=25.$

Заметим, что $S_{APM}=S_{CKM}=\frac{1}{2}AP\cdot AM\cdot Sin A=\frac{\frac{15x}{4}\cdot 3x\cdot Sin A}{2}=\frac{45x^2SinA}{8}.$

При этом $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot Sin A=\frac{10x\cdot 6x\cdot Sin A}{2}=30x^2SinA$. То есть $S_{APM}=S_{CKM}=\frac{3}{16}S_{ABC}.$

Итак, $S_{KMP}=64-2\cdot \frac{3\cdot 64}{16}-25=15.$

Ответ: 15.

Вы можете найти аналогичную задачу здесь.