Задание №13 Т/Р №170 А. Ларина

Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина

13. Дано уравнение $sin2x\cdot cos4x=1.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[2; 4]$.

Решение:

а)

$sin2x\cdot cos4x=1;$

$sin2x\cdot (1-2sin^22x)=1;$

$2sin^32x-sin2x+1=0;$

$2sin^32x-sin2x+2-1=0;$

$2(sin^32x+1)-(sin2x+1)=0;$

$2(sin2x+1)(sin^22x-sin2x+1)-(sin2x+1)=0;$

$(sin2x+1)(2sin^22x-2sin2x+1)=0;$

Так как $2sin^22x-2sin2x+1$ никогда не обращается в ноль, то переходим к уравнению, равносильному исходному:

$sin2x=-1;$

$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi  n, n\in Z;$

$x=-\frac{\pi}{4}+\pi  n, n\in Z.$

б) Только $n=1$ отвечает неравенству:

 $2\leq -\frac{\pi}{4}+\pi  n\leq 4, n\in Z.$

Действительно,

$2+\frac{\pi}{4}\leq \pi  n\leq 4+\frac{\pi}{4}, n\in Z;$

$\frac{8+\pi}{4\pi}\leq  n\leq \frac{16+\pi}{4\pi}, n\in Z;$

$0,25+\frac{2}{\pi}\leq  n\leq 0,25+\frac{4}{\pi}, n\in Z;$

$n=1.$

Корень уравнения из отрезка $[2;4]$:  $\frac{3\pi}{4}.$

Ответ: 

а) $-\frac{\pi}{4}+\pi  n, n\in Z.$

б) $\frac{3\pi}{4}.$