Задание №18 Т/Р №170 А. Ларина

2016-11-09

Смотрите также №13№14№15№16№17№19 Тренировочной работы №170 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

log_2^2|4-x^2|-2a\cdot log_2|x^2-4|+a+6=0

 имеет ровно четыре различных корня.

Решение:

Перед нами – квадратное уравнение относительно  log_2|x^2-4|.

log_2^2|x^2-4|-2a\cdot log_2|x^2-4|+a+6=0.

Если a\in (2;3), то решений  уравнение не имеет.

В противном случае

log_2|x^2-4|=a\pm\sqrt{a^2-a-6};

|x^2-4|=2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}};

x^2-4=\pm 2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}};

x^2=4\pm 2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}.

При a=-2

x^2=\frac{5}{4} или x^2=\frac{15}{4},

то есть  набирается четыре различных корня. Значение a=-2 идет в ответ.

При a=3 имеем только два корня. Данное значение a нас не интересует.

Рассмотрим случай, когда a\in (-\infty;-2)\cup (3;+\infty) (*)

В этом случае 4+2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}различные положительные значения при каждом фиксированном a (а значит, решая уравнение x^2=4+2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}, мы получим четыре различных корня) и нам стоит побеспокоится о том, чтобы уравнение x^2=4-2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}} не выдавало бы нам корней, то есть необходимо, чтобы выполнялось

4-2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}<0  (**)

То есть

\begin{cases} \sqrt{a^2-a-6}>2-a,& &\sqrt{a^2-a-6}<a-2;& \end{cases}

Рассмотрим первое неравенство системы:

Если a\geq 2, то a^2-a-6\geq 0. Откуда,  a\in [3;+\infty).

Если же a<2, то a^2-a-6>4-4a+a^2. Решений нет.

Итак, решение неравенства – a\in [3;+\infty).

Рассмотрим второе неравенство системы:

\begin{cases} a\geq 2,& &a^2-a-6\geq 0,& &a^2-a-6<4-4a+a^2;& \end{cases}

\begin{cases} a\geq 2,& &(a+2)(a-3)\geq 0,& &a<\frac{10}{3};& \end{cases}

x\in [3;\frac{10}{3}).

Решение (**) с учетом (*) – a\in (3;\frac{10}{3}).

Итак, нас устраивают следующие значения параметра:

a\in{-2}\cup (3;\frac{10}{3}).

Ответ: {-2}\cup (3;\frac{10}{3}).

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif