Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №18 Т/Р №170 А. Ларина

10 Ноя 2016

Категория: 17 (С6) Параметры*Т/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №170 А. Ларина

Елена Репина 2016-11-10 2016-11-09

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$log_2^2|4-x^2|-2a\cdot log_2|x^2-4|+a+6=0$

имеет ровно четыре различных корня.

Решение:

Перед нами – квадратное уравнение относительно $log_2|x^2-4|.$

$log_2^2|x^2-4|-2a\cdot log_2|x^2-4|+a+6=0.$

Если $a\in (2;3),$ то решений уравнение не имеет.

В противном случае

$log_2|x^2-4|=a\pm\sqrt{a^2-a-6};$

$|x^2-4|=2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}};$

$x^2-4=\pm 2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}};$

$x^2=4\pm 2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}.$

При $a=-2$

$x^2=\frac{5}{4}$ или $x^2=\frac{15}{4}$ ,

то есть набирается четыре различных корня. Значение $a=-2$ идет в ответ.

При $a=3$ имеем только два корня. Данное значение $a$ нас не интересует.

Рассмотрим случай, когда $a\in (-\infty;-2)\cup (3;+\infty)$ (*)

В этом случае $4+2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}$ – различные положительные значения при каждом фиксированном $a$ (а значит, решая уравнение $x^2=4+2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}$ , мы получим четыре различных корня) и нам стоит побеспокоится о том, чтобы уравнение $x^2=4-2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}$ не выдавало бы нам корней, то есть необходимо, чтобы выполнялось

$4-2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}<0$ (**)

То есть

$\begin{cases} \sqrt{a^2-a-6}>2-a,& &\sqrt{a^2-a-6}<a-2;& \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство системы:

Если $a\geq 2,$ то $a^2-a-6\geq 0.$ Откуда, $a\in [3;+\infty).$

Если же $a<2,$ то $a^2-a-6>4-4a+a^2.$ Решений нет.

Итак, решение неравенства – $a\in [3;+\infty).$

Рассмотрим второе неравенство системы:

$\begin{cases} a\geq 2,& &a^2-a-6\geq 0,& &a^2-a-6<4-4a+a^2;& \end{cases}$

$\begin{cases} a\geq 2,& &(a+2)(a-3)\geq 0,& &a<\frac{10}{3};& \end{cases}$

$x\in [3;\frac{10}{3}).$

Решение (**) с учетом (*) – $a\in (3;\frac{10}{3}).$

Итак, нас устраивают следующие значения параметра:

$a\in$ { $-2$ } $\cup (3;\frac{10}{3}).$

Ответ: { $-2$ } $\cup (3;\frac{10}{3}).$

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

Хомяковский

2020-06-15 в 10:24

А почему мы рассматриваем вариант, когда x^2=4+2^(штука из параме тра) не имеет корней? Тогда же исходное уравнение имеет 4. Или нет?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2020-06-15 в 13:48
  
  Разве рассматриваем что не имеет? Требуем чтобы не имело корней x^2=4-2^(Штука из параметра) с минусом!
  
  [ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (28)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы