Задание №16 Т/Р №170 А. Ларина

2016-11-06

 Смотрите также №13№14№15№16№17№18№19 Тренировочной работы №170 А. Ларина

16. Дан квадрат ABCD. Точки K,L,M – середины сторон AB,BC и CD соответственно. AL пересекает DK в точке P; DL пересекает AM в точке T; AM пересекает DK в точке O.

А) Докажите, что точки P,L,T,O лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если AB=4.

Решение:

а) Треугольники ABL,DAB равны по двум катетам, а следовательно \angle BAL=\angle ADK. Обозначим указанные равные углы за \alpha.

Учитывая, что \angle AKD=90^{\circ}-\alpha, замечаем, что в треугольнике AKD сумма двух углов A и K равна 90^{\circ}. Итак, треугольник AKD – прямоугольный и \angle P=90^{\circ}.

Аналогично, \angle T=90^{\circ}.

Вершины треугольников, имеющих общую гипотенузу, лежат на одной окружности, диаметр которой – гипотенуза.

Итак, точки P,L,T,O лежат на одной окружности.

б) Будем искать радиус r окружности, вписанной в четырехугольник PLTO по формуле

r=\frac{S_{PLTO}}{p},

где p – полупериметр четырехугольника PLTO.

Из треугольника ABL:

tg\alpha =\frac{1}{2};

cos\alpha =\frac{2}{\sqrt5};

AP=AK\cdot cos\alpha =\frac{4}{\sqrt5}.

Тогда PL=AL-AP=2\sqrt5-\frac{4}{\sqrt5}=\frac{6}{\sqrt5}.

Несложно заметить, что LO и AB параллельны. Действительно, в равнобедренном треугольнике ALD O – точка пересечения высот. А значит, LO – отрезок высоты, то есть LO и AD перпендикулярны, что в свою очередь означает параллельность LO и AB.

Параллельность LO,AB дает нам равенство углов ALO,BAL.

Из треугольника PLO:

tgPLO=tg\alpha =\frac{PO}{PL}, откуда PO=\frac{3}{\sqrt5}.

Далее, замечая, что треугольники PLO,TLO равны, получаем:

S_{PLTO}=2\cdot \frac{PL\cdot PO}{2}=\frac{18}{5};

p=\frac{2(PL+PO)}{2}=\frac{9}{\sqrt5}.

Тогда

r=\frac{\frac{18}{5}}{\frac{9}{\sqrt5}}=\frac{2\sqrt5}{5}.

Ответ: \frac{2\sqrt5}{5}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif