Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина
16. Дан квадрат . Точки
– середины сторон
и
соответственно.
пересекает
в точке
;
пересекает
в точке
;
пересекает
в точке
.
А) Докажите, что точки лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник , если
Решение:
а) Треугольники равны по двум катетам, а следовательно
Обозначим указанные равные углы за
Учитывая, что замечаем, что в треугольнике
сумма двух углов
и
равна
Итак, треугольник
– прямоугольный и
Аналогично,
Вершины треугольников, имеющих общую гипотенузу, лежат на одной окружности, диаметр которой – гипотенуза.
Итак, точки лежат на одной окружности.
б) Будем искать радиус окружности, вписанной в четырехугольник
по формуле
где – полупериметр четырехугольника
Из треугольника
Тогда
Несложно заметить, что и
параллельны. Действительно, в равнобедренном треугольнике
– точка пересечения высот. А значит,
– отрезок высоты, то есть
и
перпендикулярны, что в свою очередь означает параллельность
и
Параллельность дает нам равенство углов
Из треугольника
откуда
Далее, замечая, что треугольники равны, получаем:
Тогда
Ответ:
Добавить комментарий