Задание №16 Т/Р №170 А. Ларина

 Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина

16. Дан квадрат $ABCD$. Точки $K,L,M$ – середины сторон $AB,BC$ и $CD$ соответственно. $AL$ пересекает $DK$ в точке $P$; $DL$ пересекает $AM$ в точке $T$; $AM$ пересекает $DK$ в точке $O$.

А) Докажите, что точки $P,L,T,O$ лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник $PLTO$, если $AB=4.$

Решение:

а) Треугольники $ABL,DAB$ равны по двум катетам, а следовательно $\angle BAL=\angle ADK.$ Обозначим указанные равные углы за $\alpha.$

Учитывая, что $\angle AKD=90^{\circ}-\alpha,$ замечаем, что в треугольнике $AKD$ сумма двух углов $A$ и $K$ равна $90^{\circ}.$ Итак, треугольник $AKD$ – прямоугольный и $\angle P=90^{\circ}.$

Аналогично, $\angle T=90^{\circ}.$

Вершины треугольников, имеющих общую гипотенузу, лежат на одной окружности, диаметр которой – гипотенуза.

Итак, точки $P,L,T,O$ лежат на одной окружности.

б) Будем искать радиус $r$ окружности, вписанной в четырехугольник $PLTO$ по формуле

$r=\frac{S_{PLTO}}{p},$

где $p$ – полупериметр четырехугольника $PLTO.$

Из треугольника $ABL:$

$tg\alpha =\frac{1}{2};$

$cos\alpha =\frac{2}{\sqrt5};$

$AP=AK\cdot cos\alpha =\frac{4}{\sqrt5}.$

Тогда $PL=AL-AP=2\sqrt5-\frac{4}{\sqrt5}=\frac{6}{\sqrt5}.$

Несложно заметить, что $LO$ и $AB$ параллельны. Действительно, в равнобедренном треугольнике $ALD$ $O$ – точка пересечения высот. А значит, $LO$ – отрезок высоты, то есть $LO$ и $AD$ перпендикулярны, что в свою очередь означает параллельность $LO$ и $AB.$

Параллельность $LO,AB$ дает нам равенство углов $ALO,BAL.$

Из треугольника $PLO:$

$tgPLO=tg\alpha =\frac{PO}{PL},$ откуда $PO=\frac{3}{\sqrt5}.$

Далее, замечая, что треугольники $PLO,TLO$ равны, получаем:

$S_{PLTO}=2\cdot \frac{PL\cdot PO}{2}=\frac{18}{5};$

$p=\frac{2(PL+PO)}{2}=\frac{9}{\sqrt5}.$

Тогда

$r=\frac{\frac{18}{5}}{\frac{9}{\sqrt5}}=\frac{2\sqrt5}{5}.$

Ответ: $\frac{2\sqrt5}{5}.$