Задание №18 Т/Р №168 А. Ларина

2016-10-26

Смотрите также №13№14№15№16№17№19 Тренировочной работы №168 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

\begin{cases} \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2}=3,& &(x-a)^2+(y+2a-8)^2=a-3;& \end{cases}

 имеет ровно одно решение. 

Решение:

Первая строка системы задает отрезок с концами (3;2) и  (6;2). Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки (x;y) до точек (3;2) и (6;2), при этом расстояние между  точками (3;2),  (6;2) равно \sqrt{(3-6)^2+(2-2)^2}=3.  Таким образом произвольная точка (x;y) – точка отрезка с концами (3;2),  (6;2).

Отрезок с концами (3;2) и  (6;2) задается уравнением  y=2 при условии x\in [3;6].

Исходную систему уравнений мы можем переписать следующим образом:

\begin{cases} y=2,& &3\leq x\leq 6,& &(x-a)^2+(2+2a-8)^2=a-3;& \end{cases}

\begin{cases} y=2,& &3\leq x\leq 6,& &(x-a)^2=-4a^2+25a-39;& \end{cases}

Для того, чтобы система имела одно решение, необходимо найти такие значения a, при которых уравнение (x-a)^2=-4a^2+25a-39 при условии 3\leq x\leq 6 будет иметь одно решение.

Пусть f(x)=(x-a)^2.

Тогда f(3)=(3-a)^2,f(6)=(6-a)^2.

Заметим, так как -4a^2+25a-39\geq 0, то есть a\in [3;3,25], то

f(6)>f(3).

1) При  f(3)=0 (то есть при a=3)   -4a^2+25a-39=0  и мы наблюдаем единственное решение системы. Значение a=3 идет в ответ.

2) При  f(3)>0 необходимо

(3-a)^2<-4a^2+25a-39\leq (6-a)^2  (*)

или

-4a^2+25a-39=0   (**)

Решим (*):

\begin{cases} -4a^2+25a-39\leq (6-a)^2,& &(3-a)^2<-4a^2+25a-39;& \end{cases}

\begin{cases} 5a^2-37a+75\geq 0,& &5a^2-31a+48<0;& \end{cases}

Решение неравенства первой строки – (-\infty;+\infty).

Решение неравенства второй строки – (3;3,2).

Поэтому решение системы с учетом условия f(3)>0  – это (3;3,2).

Решение (**) при условии f(3)>0  – это \frac{13}{4}.

Итак, во втором случае a\in (3;3,2)\cup{3,25}.

Наконец, объединяя решения случаев (1) и (2), получаем – a\in [3;3,2)\cup{3,25}.

Ответ: [3;3,2)\cup{3,25}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif