Задание №18 Т/Р №168 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-27 2016-10-26

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2}=3,& &(x-a)^2+(y+2a-8)^2=a-3;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Решение:

Первая строка системы задает отрезок с концами $(3;2)$ и $(6;2).$ Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки $(x;y)$ до точек $(3;2)$ и $(6;2)$ , при этом расстояние между точками $(3;2)$ , $(6;2)$ равно $\sqrt{(3-6)^2+(2-2)^2}=3$ . Таким образом произвольная точка $(x;y)$ – точка отрезка с концами $(3;2)$ , $(6;2).$

Отрезок с концами $(3;2)$ и $(6;2)$ задается уравнением $y=2$ при условии $x\in [3;6].$

Исходную систему уравнений мы можем переписать следующим образом:

$\begin{cases} y=2,& &3\leq x\leq 6,& &(x-a)^2+(2+2a-8)^2=a-3;& \end{cases}$

$\begin{cases} y=2,& &3\leq x\leq 6,& &(x-a)^2=-4a^2+25a-39;& \end{cases}$

Для того, чтобы система имела одно решение, необходимо найти такие значения $a$ , при которых уравнение $(x-a)^2=-4a^2+25a-39$ при условии $3\leq x\leq 6$ будет иметь одно решение.