Задание №18 Т/Р №168 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$\begin{cases}\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2}=3,\\(x-a)^2+(y+2a-8)^2=a-3;&\end{cases}$

 имеет ровно одно решение. 

Решение:

Первая строка системы задает отрезок с концами $(3;2)$ и  $(6;2).$ Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки $(x;y)$ до точек $(3;2)$ и $(6;2)$, при этом расстояние между  точками $(3;2)$,  $(6;2)$ равно $\sqrt{(3-6)^2+(2-2)^2}=3$.  Таким образом произвольная точка $(x;y)$ – точка отрезка с концами $(3;2)$,  $(6;2).$

Отрезок с концами $(3;2)$ и  $(6;2)$ задается уравнением  $y=2$ при условии $x\in [3;6].$

Исходную систему уравнений мы можем переписать следующим образом:

$\begin{cases}y=2,\\3\leq x\leq 6,\\(x-a)^2+(2+2a-8)^2=a-3;&\end{cases}$

$\begin{cases}y=2,\\3\leq x\leq 6,\\(x-a)^2=-4a^2+25a-39;&\end{cases}$

Для того, чтобы система имела одно решение, необходимо найти такие значения $a$, при которых уравнение $(x-a)^2=-4a^2+25a-39$ при условии $3\leq x\leq 6$ будет иметь одно решение.

Пусть $f(x)=(x-a)^2.$

Тогда $f(3)=(3-a)^2,f(6)=(6-a)^2.$

Заметим, так как $-4a^2+25a-39\geq 0,$ то есть $a\in [3;3,25],$ то

$f(6)>f(3).$

1) При  $f(3)=0$ (то есть при $a=3$)   $-4a^2+25a-39=0$  и мы наблюдаем единственное решение системы. Значение $a=3$ идет в ответ.

2) При  $f(3)>0$ необходимо

$(3-a)^2<-4a^2+25a-39\leq (6-a)^2$  (*)

или

$-4a^2+25a-39=0$   (**)

Решим (*):

$\begin{cases}-4a^2+25a-39\leq (6-a)^2,\\(3-a)^2<-4a^2+25a-39;&\end{cases}$

$\begin{cases}5a^2-37a+75\geq 0,\\5a^2-31a+48<0;&\end{cases}$

Решение неравенства первой строки – $(-\infty;+\infty).$

Решение неравенства второй строки – $(3;3,2).$

Поэтому решение системы с учетом условия $f(3)>0$  – это $(3;3,2).$

Решение (**) при условии $f(3)>0$  – это $\frac{13}{4}.$

Итак, во втором случае $a\in (3;3,2)\cup${$3,25$}.

Наконец, объединяя решения случаев (1) и (2), получаем – $a\in [3;3,2)\cup \{3,25\}.$

Ответ: $[3;3,2)\cup \{3,25\}.$