Задание №18. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

2018-09-07

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15№16; №17№19

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений

\begin{cases} x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,& & x^2=y^2; \end{cases}

имеет ровно четыре решения.

Решение:

\begin{cases} x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,& & x^2=y^2; \end{cases}

Вторая строка системы – прямые y=\pm x. Действительно,

x^2-y^2=0;

(x-y)(x+y)=0;

y=x или y=-x.

Четыре решения исходная система будет иметь в случае, если линия, задаваемая первой строкой, дважды пересекается с прямыми y=\pm x, причем все эти четыре точки пересечения различны (совпадение точек возможно было бы только в точке (0;0), точке пересечения прямых y=x,y=-x).

1) y=x.

Потребуем  D>0 для x^2+x^2-4(a+1)x-2ax+5a^2+8a+3=0.

Для 2x^2-2(3a+2)x+5a^2+8a+3=0  D=(3a+2)^2-10a^2-16a-6.

Тогда решим неравенство:

9a^2+12a+4-10a^2-16a-6>0;

-a^2-4a-2>0;

a^2+4a+2<0;

(a-(-2-\sqrt2))(a-(-2+\sqrt2))<0;

a\in (-2-\sqrt2;\-2+\sqrt2).

2)  y=-x.

Потребуем  D>0 для x^2+x^2-4(a+1)x+2ax+5a^2+8a+3=0.

Для 2x^2-2(a+2)x+5a^2+8a+3=0  D=(a+2)^2-10a^2-16a-6.

Тогда решим неравенство:

a^2+4a+4-10a^2-16a-6>0;

9a^2+12a+2<0;

(a-\frac{-2-\sqrt2}{3})(a-\frac{-2+\sqrt2}{3})<0;

a\in (\frac{-2-\sqrt2}{3};\frac{-2+\sqrt2}{3}).

3) y=x=0.

5a^2+8a+3=0;

a=-1 или a=-0,6.

Итак, 

a\in (\frac{-2-\sqrt2}{3};-1)\cup (-1;-0,6)\cup (-0,6;-2+\sqrt2).

Ответ: (\frac{-2-\sqrt2}{3};-1)\cup (-1;-0,6)\cup (-0,6;-2+\sqrt2).

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

6 + 8 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif