Задание №20 Т/Р №112 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых найдется хотя бы одна пара чисел $(x;y)$, удовлетворяющая системе

$\begin{cases}2y-x\leq 15,\\y+2x\leq 15,\\4y+3x\geq 25,\\x^2+y^2=a;&\end{cases}$

Решение:

$\begin{cases}y\leq \frac{1}{2}x+\frac{15}{2},\\y\leq -2x+15,\\y\geq -\frac{3}{4}x+\frac{25}{4},\\x^2+y^2=a;&\end{cases}$

Первые три строки системы задают треугольник $ABC$ (см. рис).

Хотя бы одна пара чисел $(x;y)$ будет удовлетворять исходной системе при тех значения параметра $a$, которые отвечают за расположение окружности $x^2+y^2=a$ внутри кольца (включая границы), образованного окружностями, проходящими через точки $B$ и $K$ ($K$ – точка касания окружности и прямой $y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$).

Окружность проходит через точку $B$.

$\begin{cases}y=-2x+15,\\y=\frac{x}{2}+\frac{15}{2};\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{15}{2}=-2x+15,\\y=-2x+15;\end{cases}$

$\begin{cases}x=3,\\y=9;\end{cases}$

Значение $a$, отвечающего за прохождение окружности $x^2+y^2=a$ через точку $B$, – это $90$.

Окружность проходит через точку $K.$

Потребуем единственного решения от системы

$\begin{cases}y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4},\\x^2+y^2=a;\end{cases}$

То есть $D$ должен равняться нулю для

$x^2+(-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4})^2=a.$

Имеем:

$x^2+\frac{9x^2}{16}-\frac{150x}{16}+\frac{625}{16}-a=0;$

$25x^2-150x+625-16a=0;$

$\frac{D}{4}=0$ <=> $75^2-25(625-16a)=0$, то есть $a=25.$

Значение $a$, отвечающего за прохождение окружности $x^2+y^2=a$ через точку $K$, – это $25$.

Итак, $a\in [25;90].$

Ответ:  $[25;90].$