Задание №20 Т/Р №112 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-09 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения $a$ , при каждом из которых найдется хотя бы одна пара чисел $(x;y)$ , удовлетворяющая системе

$\begin{cases} 2y-x\leq 15,& &y+2x\leq 15,& &4y+3x\geq 25,& &x^2+y^2=a;& \end{cases}$

Решение:

$\begin{cases} y\leq \frac{1}{2}x+\frac{15}{2},& &y\leq -2x+15,& &y\geq -\frac{3}{4}x+\frac{25}{4},& &x^2+y^2=a;& \end{cases}$

Первые три строки системы задают треугольник $ABC$ (см. рис).

Хотя бы одна пара чисел $(x;y)$ будет удовлетворять исходной системе при тех значения параметра $a$ , которые отвечают за расположение окружности $x^2+y^2=a$ внутри кольца (включая границы), образованного окружностями, проходящими через точки $B$ и $K$ ( $K$ – точка касания окружности и прямой $y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$ ).