Задание №20 Т/Р №112 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения a, при каждом из которых найдется хотя бы одна пара чисел (x;y), удовлетворяющая системе

\begin{cases} 2y-x\leq 15,& &y+2x\leq 15,& &4y+3x\geq 25,& &x^2+y^2=a;& \end{cases}

Решение:

\begin{cases} y\leq \frac{1}{2}x+\frac{15}{2},& &y\leq -2x+15,& &y\geq -\frac{3}{4}x+\frac{25}{4},& &x^2+y^2=a;& \end{cases}

Первые три строки системы задают треугольник ABC (см. рис).

Хотя бы одна пара чисел (x;y) будет удовлетворять исходной системе при тех значения параметра a, которые отвечают за расположение окружности x^2+y^2=a внутри кольца (включая границы), образованного окружностями, проходящими через точки B и K (K – точка касания окружности и прямой y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}).

Окружность проходит через точку B.

\begin{cases} y=-2x+15,& &y=\frac{x}{2}+\frac{15}{2};& \end{cases}

\begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{15}{2}=-2x+15,& &y=-2x+15;& \end{cases}

\begin{cases} x=3,& &y=9;& \end{cases}

Значение a, отвечающего за прохождение окружности x^2+y^2=a через точку B, – это 90.

Окружность проходит через точку K.

Потребуем единственного решения от системы

\begin{cases} y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4},& &x^2+y^2=a;& \end{cases}

То есть D должен равняться нулю для

x^2+(-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4})^2=a.

Имеем:

x^2+\frac{9x^2}{16}-\frac{150x}{16}+\frac{625}{16}-a=0;

25x^2-150x+625-16a=0;

\frac{D}{4}=0 <=> 75^2-25(625-16a)=0, то есть a=25.

Значение a, отвечающего за прохождение окружности x^2+y^2=a через точку K, – это 25.

Итак, a\in [25;90].

Ответ:  [25;90].

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif