В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также задания №17, №18, №20.
Известно, что ,
,
,
,
– рёбра куба. Через вершины
,
и середины рёбер
и
проведена плоскость
, делящая шар, вписанный в куб, на две части.
а) Постройте плоскость .
б) Найдите отношение объёма меньшей части шара к объёму всего шара.
Решение:
a) Параллельные прямые ,
(где
– середины сторон
,
соответственно) определяют плоскость
.
б) Пусть радиус вписанного в куб шара – .
Чтобы найти объем меньшей части шара (шарового сегмента), осекаемой от него построенной плоскостью , нам потребуется найти высоту
этого сегмента (точнее, – выразить ее через
), ведь формула вычисления объема шарового сегмента такова:
Вспомним и формулу для вычисления объема шара:
Так вот, для поиска высоты нашего сегмента надо прежде провести из центра шара радиус, перпендикулярный плоскости
.
Для этого проведем из т. (центра основания куба
) перпендикуляр к
.
По теореме о трех перпендикулярах имеем (
– центр грани
, параллельной основанию).
Плоскости и (
) – перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей. Значит, если мы в одной из плоскостей (
) проведем перпендикуляр к линии их пересечения, то этот перпендикуляр автоматически становится перпендикуляром к плоскости
по свойству перпендикулярных плоскостей.
Проводим , точка
– точка прямой
на поверхности шара (в левой полуплоскости относительно
, см. рис.).
Тогда
.
Найдем из подобия треугольников
и
Из подобия треугольников и
с коэффициентом подобия
вытекает:
, при этом
Итак,
Мы готовы найти объем шарового сегмента (c высотой ):
Наконец,
Ответ:
Извините, пожалуйста, не могли бы вы мне объяснить, как получилось,что AH=AB\V2
Надежда, если сторону квадрата принять за
, то диагональ будет
(по теореме Пифагора), а значит половина диагонали будет
или
.
и есть
, а
– половина диагонали квадрата.
В нашем случае
Спасибо)
Спасибо.Очень доступное решение, красивые рисунки, доказательные выводы со ссылками на теорию