Задание №16 (С2) из Т/Р №87 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также задания №17, №18, №20.
Известно, что AB, AC, AD, DE, DF – рёбра куба. Через вершины E, F и середины рёбер AB и AC проведена плоскость \alpha, делящая шар, вписанный в куб, на две части.

а) Постройте плоскость \alpha.
б) Найдите отношение объёма меньшей части шара к объёму всего шара.

Решение:

a) Параллельные прямые EF, PR  (где P, R – середины сторон AB, AC соответственно) определяют плоскость \alpha.

б) Пусть радиус вписанного в куб шара – R.

Чтобы найти объем меньшей части шара (шарового сегмента), осекаемой от него построенной плоскостью \alpha, нам потребуется найти высоту h этого сегмента (точнее, – выразить ее через R), ведь формула вычисления объема шарового сегмента такова:

V_{shar/segment}=\pi h^2(R-\frac{h}{3})

Вспомним и формулу для вычисления объема шара:

V_{shar}=\frac{4\pi R^3}{3}

Так вот, для поиска высоты h нашего сегмента надо прежде провести из центра шара радиус, перпендикулярный плоскости \alpha.

Для этого проведем из т. H (центра основания куба ABKC) перпендикуляр к PR.

По теореме о трех перпендикулярах имеем SM\perp PR (S – центр грани DEGF, параллельной основанию).

Плоскости \alpha и (MSH) – перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей. Значит, если мы в одной из плоскостей (MSH) проведем перпендикуляр к линии их пересечения, то этот перпендикуляр автоматически становится перпендикуляром к плоскости \alpha по свойству перпендикулярных плоскостей.

Проводим OL\perp MS, точка T – точка прямой OL на поверхности шара (в левой полуплоскости относительно \alpha, см. рис.).

Тогда

h=TO-LO=R-LO.

Найдем LO из подобия треугольников LSO и HSM:

\frac{LO}{HM}=\frac{SO}{SM};

\frac{LO}{HM}=\frac{R}{\sqrt{HM^2+(2R)^2}}};

Из подобия треугольников APR и ABC с коэффициентом подобия 1/2 вытекает: HM=\frac{AH}{2}, при этом AH=\frac{AB}{\sqrt2}=\frac{2R}{\sqrt2}.

Итак,

\frac{LO}{\frac{R}{\sqrt2}}=\frac{R}{\sqrt{(\frac{R}{\sqrt2})^2+(2R)^2}}};

LO=\frac{R}{3};

Мы готовы найти объем шарового сегмента (c  высотой LT):

h=LT=R-\frac{R}{3}=\frac{2R}{3};

V_{shar/segment}=\pi h^2(R-\frac{h}{3})=\pi (\frac{2R}{3})^2(R-\frac{2R}{9})=\frac{28\pi R^3}{81}.

Наконец,

\frac{V_{shar/segm}}{V_{shar}}=\frac{\frac{28\pi R^3}{81}}{\frac{4\pi R^3}{3}}=\frac{7}{27}.

Ответ: \frac{7}{27}.

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. надежда

    Извините, пожалуйста, не могли бы вы мне объяснить, как получилось,что AH=AB\V2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Надежда, если сторону квадрата принять за a, то диагональ будет a\sqrt2 (по теореме Пифагора), а значит половина диагонали будет \frac{a\sqrt2}{2} или \frac{a}{\sqrt2}.
      В нашем случае AB и есть a, а AH – половина диагонали квадрата.

      [ Ответить ]
      • надежда

        Спасибо)

        [ Ответить ]
  2. Лилия

    Спасибо.Очень доступное решение, красивые рисунки, доказательные выводы со ссылками на теорию

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif