Задание №17 (С3) из Т/Р №87 А. Ларина

Смотрите также задания №16, №18, №20

Решите неравенство:

$\sqrt{1-log_5(x^2-2x+2)}<log_5(5x^2-10x+10).$

Решение:

Возведем в квадрат обе части неравенства (имеем право, – обе части не отрицательные), не забывая при этом о равносильности перехода:

$\begin{cases}1-log_5(x^2-2x+2)<log^2_5(5x^2-10x+10),\\1-log_5(x^2-2x+2)\geq 0,\\log_5(5x^2-10x+10)>0;&\end{cases}$

Далее

$\begin{cases}1-log_5(x^2-2x+2)<(log_55+log_5(x^2-2x+2))^2,\\-1< log_5(x^2-2x+2)\leq 1;\end{cases}$

На этом этапе вы вполне можете сделать замену… Но я не буду…

$\begin{cases}1-log_5(x^2-2x+2)<1+2log_5(x^2-2x+2)+log^2_5(x^2-2x+2),\\-1< log_5(x^2-2x+2)\leq 1;\end{cases}$

$\begin{cases}log^2_5(x^2-2x+2)+3log_5(x^2-2x+2)>0,\\-1< log_5(x^2-2x+2)\leq 1,\end{cases}$

$\begin{cases}log_5(x^2-2x+2)(log_5(x^2-2x+2)+3)>0,\\-1< log_5(x^2-2x+2)\leq 1;\end{cases}$

$0<log_5(x^2-2x+2)\leq 1;$

$1<x^2-2x+2\leq 5;$

$\begin{cases}x^2-2x-3\leq 0,\\x^2-2x+1>0;\end{cases}$

$\begin{cases}(x-3)(x+1)\leq 0,\\x\neq 1;\end{cases}$

 $x\in$ [$-1;1$)$\cup$($1;3$].

Ответ: [$-1;1$)$\cup$($1;3$].