Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №20 (С5) из Т/Р №87 А. Ларина

16 Окт 2014

Категория: 17 (С6) Параметры*ПараметрТ/P A. Ларина

Задание №20 (С5) из Т/Р №87 А. Ларина

Елена Репина 2014-10-16 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также задания №16, №17, №18 Тренировочного варианта №87 А. Ларина.
Найти все значения параметра $a$ , при которых больший корень уравнения

$x^2+\frac{x+4}{\sqrt3}sin2a-16=0$

на $\sqrt{\frac{2}{3}}$ больше, чем квадрат разности корней уравнения

$x^2-xsina+\frac{cos^2a}{4}-1=0.$

Решение:

1) Найдем больший корень первого уравнения.

$x^2+\frac{x+4}{\sqrt3}sin2a-16=0;$

$x^2+\frac{sin2a}{\sqrt3}x+\frac{4sin2a}{\sqrt3}-16=0;$

$x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm \sqrt{(\frac{sin2a}{\sqrt3})^2-4(\frac{4sin2a}{\sqrt3}-16)}}{2};$

$x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm \sqrt{(\frac{sin2a}{\sqrt3}-8)^2}}{2};$

$x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm |\frac{sin2a}{\sqrt3}-8|}{2};$

Так как $\frac{sin2a}{\sqrt3}-8<0$ , то $|\frac{sin2a}{\sqrt3}-8|= -\frac{sin2a}{\sqrt3}+8$ .

При каждом фиксированном значении $a$ больший корень первого уравнения таков: $x=-\frac{sin2a}{\sqrt3}+4.$

2) Найдем квадрат разности корней второго уравнения, опираясь на теорему Виетта.

Пусть $x_1$ , $x_2$ – корни уравнения $x^2-xsina+\frac{cos^2a}{4}-1=0.$

Тогда

$x_1+x_2=sina$ и $x_1x_2=\frac{cos^2a}{4}-1.$

А поскольку

$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ ,

то

$(x_1-x_2)^2=sin^2a-cos^2a+4;$

3) Так как больший корень первого уравнения на $\sqrt{\frac{2}{3}}$ больше, чем квадрат разности корней второго уравнения, то

$-\frac{sin2a}{\sqrt3}+4=\sqrt{\frac{2}{3}}+sin^2a-cos^2a+4;$

$\sqrt3cos2a-sin2a=\sqrt2;$

$\frac{\sqrt3}{2}cos2a-\frac{1}{2}sin2a=\frac{\sqrt2}{2};$

Решаем уравнение через введение вспомогательного аргумента.

$cos\frac{\pi}{6}cos2a-sin\frac{\pi}{6}sin2a=\frac{\sqrt2}{2};$

$cos(\frac{\pi}{6}+2a)=\frac{\sqrt2}{2};$

$\frac{\pi}{6}+2a=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;$

$2a=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;$

$a=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{\pi}{8}+\pi n, n\in Z;$

$a=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{\pi}{8}+\pi n, n\in Z;$

$a=-\frac{5\pi}{24}+\pi n$ или $a=\frac{\pi}{24}+\pi n,$ $n\in Z.$

Ответ: $-\frac{5\pi}{24}+\pi n,$ $\frac{\pi}{24}+\pi n$ , $n\in Z.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (34)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (94)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы