Задание №20 (С5) из Т/Р №87 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также задания №16, №17, №18 Тренировочного варианта №87 А. Ларина.
Найти все значения параметра a, при которых больший корень уравнения

x^2+\frac{x+4}{\sqrt3}sin2a-16=0

на \sqrt{\frac{2}{3}} больше, чем квадрат разности корней уравнения

x^2-xsina+\frac{cos^2a}{4}-1=0.

Решение:

1) Найдем больший корень первого уравнения.

x^2+\frac{x+4}{\sqrt3}sin2a-16=0;

x^2+\frac{sin2a}{\sqrt3}x+\frac{4sin2a}{\sqrt3}-16=0;

x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm \sqrt{(\frac{sin2a}{\sqrt3})^2-4(\frac{4sin2a}{\sqrt3}-16)}}{2};

x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm \sqrt{(\frac{sin2a}{\sqrt3}-8)^2}}{2};

x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm |\frac{sin2a}{\sqrt3}-8|}{2};

Так как \frac{sin2a}{\sqrt3}-8<0, то  |\frac{sin2a}{\sqrt3}-8|= -\frac{sin2a}{\sqrt3}+8.

При каждом фиксированном значении a больший корень первого уравнения таков: x=-\frac{sin2a}{\sqrt3}+4.

2) Найдем квадрат разности корней второго уравнения, опираясь на теорему Виетта.

Пусть x_1, x_2 – корни уравнения x^2-xsina+\frac{cos^2a}{4}-1=0.

Тогда

x_1+x_2=sina  и  x_1x_2=\frac{cos^2a}{4}-1.

А поскольку

(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2,

то

(x_1-x_2)^2=sin^2a-cos^2a+4;

3) Так как больший корень первого уравнения на \sqrt{\frac{2}{3}} больше, чем квадрат разности корней второго уравнения, то

-\frac{sin2a}{\sqrt3}+4=\sqrt{\frac{2}{3}}+sin^2a-cos^2a+4;

\sqrt3cos2a-sin2a=\sqrt2;

\frac{\sqrt3}{2}cos2a-\frac{1}{2}sin2a=\frac{\sqrt2}{2};

Решаем уравнение через введение вспомогательного аргумента.

cos\frac{\pi}{6}cos2a-sin\frac{\pi}{6}sin2a=\frac{\sqrt2}{2};

cos(\frac{\pi}{6}+2a)=\frac{\sqrt2}{2};

\frac{\pi}{6}+2a=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;

2a=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;

a=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{\pi}{8}+\pi n, n\in Z;

a=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{\pi}{8}+\pi n, n\in Z;

a=-\frac{5\pi}{24}+\pi n  или  a=\frac{\pi}{24}+\pi n, n\in Z.

Ответ: -\frac{5\pi}{24}+\pi n,  \frac{\pi}{24}+\pi n, n\in Z.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif