Задание №20 (С5) из Т/Р №87 А. Ларина

2023-07-22

Смотрите также задания №16, №17, №18 Тренировочного варианта №87 А. Ларина.
Найти все значения параметра $a$, при которых больший корень уравнения

$x^2+\frac{x+4}{\sqrt3}sin2a-16=0$

на $\sqrt{\frac{2}{3}}$ больше, чем квадрат разности корней уравнения

$x^2-xsina+\frac{cos^2a}{4}-1=0.$

Решение:

1) Найдем больший корень первого уравнения.

$x^2+\frac{x+4}{\sqrt3}sin2a-16=0;$

$x^2+\frac{sin2a}{\sqrt3}x+\frac{4sin2a}{\sqrt3}-16=0;$

$x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm \sqrt{(\frac{sin2a}{\sqrt3})^2-4(\frac{4sin2a}{\sqrt3}-16)}}{2};$

$x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm \sqrt{(\frac{sin2a}{\sqrt3}-8)^2}}{2};$

$x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm |\frac{sin2a}{\sqrt3}-8|}{2};$

Так как $\frac{sin2a}{\sqrt3}-8<0$, то $ |\frac{sin2a}{\sqrt3}-8|= -\frac{sin2a}{\sqrt3}+8$.

При каждом фиксированном значении $a$ больший корень первого уравнения таков: $x=-\frac{sin2a}{\sqrt3}+4.$

2) Найдем квадрат разности корней второго уравнения, опираясь на теорему Виетта.

Пусть $x_1$, $x_2$ – корни уравнения $x^2-xsina+\frac{cos^2a}{4}-1=0.$

Тогда

$x_1+x_2=sina$  и  $x_1x_2=\frac{cos^2a}{4}-1.$

А поскольку

$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$,

то

$(x_1-x_2)^2=sin^2a-cos^2a+4;$

3) Так как больший корень первого уравнения на $\sqrt{\frac{2}{3}}$ больше, чем квадрат разности корней второго уравнения, то

$-\frac{sin2a}{\sqrt3}+4=\sqrt{\frac{2}{3}}+sin^2a-cos^2a+4;$

$\sqrt3cos2a-sin2a=\sqrt2;$

$\frac{\sqrt3}{2}cos2a-\frac{1}{2}sin2a=\frac{\sqrt2}{2};$

Решаем уравнение через введение вспомогательного аргумента.

$cos\frac{\pi}{6}cos2a-sin\frac{\pi}{6}sin2a=\frac{\sqrt2}{2};$

$cos(\frac{\pi}{6}+2a)=\frac{\sqrt2}{2};$

$\frac{\pi}{6}+2a=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;$

$2a=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;$

$a=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{\pi}{8}+\pi n, n\in Z;$

$a=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{\pi}{8}+\pi n, n\in Z;$

$a=-\frac{5\pi}{24}+\pi n$  или  $a=\frac{\pi}{24}+\pi n,$ $n\in Z.$

Ответ: $-\frac{5\pi}{24}+\pi n,$  $\frac{\pi}{24}+\pi n$, $n\in Z.$

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




шестнадцать − тринадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif