Смотрите также задания №16, №17, №18 Тренировочного варианта №87 А. Ларина.
Найти все значения параметра $a$, при которых больший корень уравнения
$x^2+\frac{x+4}{\sqrt3}sin2a-16=0$
на $\sqrt{\frac{2}{3}}$ больше, чем квадрат разности корней уравнения
$x^2-xsina+\frac{cos^2a}{4}-1=0.$
Решение:
1) Найдем больший корень первого уравнения.
$x^2+\frac{x+4}{\sqrt3}sin2a-16=0;$
$x^2+\frac{sin2a}{\sqrt3}x+\frac{4sin2a}{\sqrt3}-16=0;$
$x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm \sqrt{(\frac{sin2a}{\sqrt3})^2-4(\frac{4sin2a}{\sqrt3}-16)}}{2};$
$x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm \sqrt{(\frac{sin2a}{\sqrt3}-8)^2}}{2};$
$x=\frac{-\frac{sin2a}{\sqrt3}\pm |\frac{sin2a}{\sqrt3}-8|}{2};$
Так как $\frac{sin2a}{\sqrt3}-8<0$, то $ |\frac{sin2a}{\sqrt3}-8|= -\frac{sin2a}{\sqrt3}+8$.
При каждом фиксированном значении $a$ больший корень первого уравнения таков: $x=-\frac{sin2a}{\sqrt3}+4.$
2) Найдем квадрат разности корней второго уравнения, опираясь на теорему Виетта.
Пусть $x_1$, $x_2$ – корни уравнения $x^2-xsina+\frac{cos^2a}{4}-1=0.$
Тогда
$x_1+x_2=sina$ и $x_1x_2=\frac{cos^2a}{4}-1.$
А поскольку
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$,
то
$(x_1-x_2)^2=sin^2a-cos^2a+4;$
3) Так как больший корень первого уравнения на $\sqrt{\frac{2}{3}}$ больше, чем квадрат разности корней второго уравнения, то
$-\frac{sin2a}{\sqrt3}+4=\sqrt{\frac{2}{3}}+sin^2a-cos^2a+4;$
$\sqrt3cos2a-sin2a=\sqrt2;$
$\frac{\sqrt3}{2}cos2a-\frac{1}{2}sin2a=\frac{\sqrt2}{2};$
Решаем уравнение через введение вспомогательного аргумента.
$cos\frac{\pi}{6}cos2a-sin\frac{\pi}{6}sin2a=\frac{\sqrt2}{2};$
$cos(\frac{\pi}{6}+2a)=\frac{\sqrt2}{2};$
$\frac{\pi}{6}+2a=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;$
$2a=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;$
$a=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{\pi}{8}+\pi n, n\in Z;$
$a=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{\pi}{8}+\pi n, n\in Z;$
$a=-\frac{5\pi}{24}+\pi n$ или $a=\frac{\pi}{24}+\pi n,$ $n\in Z.$
Ответ: $-\frac{5\pi}{24}+\pi n,$ $\frac{\pi}{24}+\pi n$, $n\in Z.$
Добавить комментарий