При решении уравнений вида
$\color{red}asinx+bcosx=c$, $a^2+b^2\neq 0$
(относительно переменной $x$) применяют прием, называемый введением вспомогательного аргумента.
Начнем знакомство с этим приемом с примера.
Пример 1.
Пусть нам нужно решить вот такое уравнение:
$\sqrt3 cosx-sinx=-1;$
Мы разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{\sqrt3}{2}cosx-\frac{1}{2}\cdot sinx=-\frac{1}{2};$
Что мы замечаем? Коэффициент перед косинусом можно представить, например, как $cos\frac{\pi}{6}$, а коэффициент перед синусом, соответственно, как $sin\frac{\pi}{6}.$
Перепишем с учетом этого наше уравнение:
$cos\frac{\pi}{6}\cdot cosx-sin\frac{\pi}{6}\cdot sinx=-\frac{1}{2};$
Теперь мы можем применить формулу «косинус суммы»
$\color{red}cos(\alpha +\beta)=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$:
$cos(\frac{\pi}{6}+x)=-\frac{1}{2};$
Откуда
$\frac{\pi}{6}+x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;$
$x=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;$
$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n \in Z;$ или $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;$
Ответ: $\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;$
Но здесь нам «повезло». Пришлось работать с табличными значениями… А как быть в общем случае?
В общем случае, имея уравнение $asinx+bcosx=c$, следует сначала обе части разделить на $\sqrt{a^2+b^2}$.
Мы получим
$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt {a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};$
Заметьте, при этом у нас коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами:
1) $|\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1$, $|\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1$;
2) $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1;$
То есть мы можем обозначить, например, $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ за $cos\varphi $, а $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ за $sin\varphi $, где $\varphi$ – и есть вспомогательный угол.
Тогда уравнение приобретет следующий вид:
$sin(x+\varphi )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};$
Откуда
$x=-\varphi +(-1)^narcsin(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}})+\pi n,\;n\in Z,$
где $\varphi =arccos(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$ или $\varphi =arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$.
Заметим при этом, что если $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}>1$, то решений нет.
Пример 2.
Решим уравнение: $3cosx+5sinx=4.$
Делим обе части уравнния на $\sqrt{3^2+5^2}$, то есть на $\sqrt{34}:$
$\frac{3}{\sqrt{34}}cosx+\frac{5}{\sqrt{34}}sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};$
Пусть, например, $\frac{3}{\sqrt{34}}=sin\varphi $, тогда $\frac{5}{\sqrt{34}}=cos\varphi $.
Имеем:
$sin\varphi cosx+cos\varphi sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};$
$sin(\varphi +x)=\frac{4}{\sqrt{34}};$
$x=(-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-\varphi +\pi n,\; n\in Z,$
где $\varphi =arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}).$
Ответ: $(-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}) +\pi n,\; n\in Z.$
подскажите пож, получается “фи” выбираем произвольно? или синус или косинус?
В некотором смысле, – произвольность есть, но в малом…
[latexpage]$\varphi =arccos(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$ или $\varphi =arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$
или $\varphi =arccos(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$ или $\varphi =arcsin(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$.
Но в любом случае $\varphi $ зависит от $a$ и $b$ из уравнения $asinx+bcosx=c.$
нет это понятно, что зависит, но когда получаем к примеру cost=5/13, а sint=12/13, в учебнике Мордковича, пишут возьмем t=arcsin12/13, почему именно его, а не cos5/13?
arcsin 12/13 и arccos 5/13 – это одно и тоже)
Спасибо за статью!
У Вас во втором примере, в третьей строчке, пропущен “sinx”. Ведь должно быть … (5/sqrt(34))*sinx …
Конечно, спасибо.