При решении уравнений вида
,
(относительно переменной
) применяют прием, называемый введением вспомогательного аргумента.
Начнем знакомство с этим приемом с примера.
Пример 1.
Пусть нам нужно решить вот такое уравнение:
Мы разделим обе части уравнения на 2:
Что мы замечаем? Коэффициент перед косинусом можно представить, например, как , а коэффициент перед синусом, соответственно, как
Перепишем с учетом этого наше уравнение:
Теперь мы можем применить формулу «косинус суммы»
:
Откуда
или
Ответ:
Но здесь нам «повезло». Пришлось работать с табличными значениями… А как быть в общем случае?
В общем случае, имея уравнение , следует сначала обе части разделить на
.
Мы получим
Заметьте, при этом у нас коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами:
1) ,
;
2)
То есть мы можем обозначить, например, за
, а
за
, где
– и есть вспомогательный угол.
Тогда уравнение приобретет следующий вид:
Откуда
где или
.
Заметим при этом, что если , то решений нет.
Пример 2.
Решим уравнение:
Делим обе части уравнния на , то есть на
Пусть, например, , тогда
.
Имеем:
где
Ответ:
подскажите пож, получается “фи” выбираем произвольно? или синус или косинус?
В некотором смысле, – произвольность есть, но в малом…
или 
или
.
зависит от
и
из уравнения 
или
Но в любом случае
нет это понятно, что зависит, но когда получаем к примеру cost=5/13, а sint=12/13, в учебнике Мордковича, пишут возьмем t=arcsin12/13, почему именно его, а не cos5/13?
arcsin 12/13 и arccos 5/13 – это одно и тоже)
Спасибо за статью!
У Вас во втором примере, в третьей строчке, пропущен “sinx”. Ведь должно быть … (5/sqrt(34))*sinx …
Конечно, спасибо.