Главная › Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства › Введение вспомогательного аргумента

14 Ноя 2013

Категория: Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства

Введение вспомогательного аргумента

Елена Репина 2013-11-14 2016-06-02

При решении уравнений вида $asinx+bcosx=c$ , $a^2+b^2\neq 0$ (относительно переменной $x$ ) применяют прием, называемый введением вспомогательного аргумента.

Начнем знакомство с этим приемом с примера.

Пример 1.

Пусть нам нужно решить вот такое уравнение:

$\sqrt3 cosx-sinx=-1;$

Мы разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{\sqrt3}{2}cosx-\frac{1}{2}\cdot sinx=-\frac{1}{2};$

Что мы замечаем? Коэффициент перед косинусом можно представить, например, как $cos\frac{\pi}{6}$ , а коэффициент перед синусом, соответственно, как $sin\frac{\pi}{6}.$

Перепишем с учетом этого наше уравнение:

$cos\frac{\pi}{6}\cdot cosx-sin\frac{\pi}{6}\cdot sinx=-\frac{1}{2};$

Теперь мы можем применить формулу «косинус суммы»

$cos(\alpha +\beta)=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$ :

$cos(\frac{\pi}{6}+x)=-\frac{1}{2};$

Откуда

$\frac{\pi}{6}+x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;$

$x=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;$

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n \in Z;$ или $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;$

Ответ: $\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;$

Но здесь нам «повезло». Пришлось работать с табличными значениями… А как быть в общем случае?

В общем случае, имея уравнение $asinx+bcosx=c$ , следует сначала обе части разделить на $\sqrt{a^2+b^2}$ .

Мы получим

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt {a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};$

Заметьте, при этом у нас коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами:

1) $|\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1$ , $|\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1$ ;

2) $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1;$

То есть мы можем обозначить, например, $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ за $cos\varphi$ , а $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ за $sin\varphi$ , где $\varphi$ – и есть вспомогательный угол.

Тогда уравнение приобретет следующий вид:

$sin(x+\varphi )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};$

Откуда

$x=-\varphi +(-1)^narcsin(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}})+\pi n,\;n\in Z,$

где $\varphi =arccos(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$ или $\varphi =arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$ .

Заметим при этом, что если $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}>1$ , то решений нет.

Пример 2.

Решим уравнение: $3cosx+5sinx=4.$

Делим обе части уравнния на $\sqrt{3^2+5^2}$ , то есть на $\sqrt{34}:$

$\frac{3}{\sqrt{34}}cosx+\frac{5}{\sqrt{34}}sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};$

Пусть, например, $\frac{3}{\sqrt{34}}=sin\varphi$ , тогда $\frac{5}{\sqrt{34}}=cos\varphi$ .

Имеем:

$sin\varphi cosx+cos\varphi sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};$

$sin(\varphi +x)=\frac{4}{\sqrt{34}};$

$x=(-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-\varphi +\pi n,\; n\in Z,$

где $\varphi =arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}).$

Ответ: $(-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}) +\pi n,\; n\in Z.$

Автор: egeMax | комментариев 6

Печать страницы

комментариев 6

Лена

2016-02-17 в 13:09

подскажите пож, получается “фи” выбираем произвольно? или синус или косинус?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-02-17 в 14:56
  
  В некотором смысле, – произвольность есть, но в малом…
  $\varphi =arccos(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$ или $\varphi =arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$
  или $\varphi =arccos(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$ или $\varphi =arcsin(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$ .
  Но в любом случае $\varphi$ зависит от $a$ и $b$ из уравнения $asinx+bcosx=c.$
  
  [ Ответить ]
  - Лена
    
    2016-02-17 в 15:06
    
    нет это понятно, что зависит, но когда получаем к примеру cost=5/13, а sint=12/13, в учебнике Мордковича, пишут возьмем t=arcsin12/13, почему именно его, а не cos5/13?
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-02-17 в 21:03
      
      arcsin 12/13 и arccos 5/13 – это одно и тоже)
      
      [ Ответить ]
q

2016-06-02 в 13:43

Спасибо за статью!

У Вас во втором примере, в третьей строчке, пропущен “sinx”. Ведь должно быть … (5/sqrt(34))*sinx …

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-06-02 в 14:53
  
  Конечно, спасибо.
  
  [ Ответить ]

Введение вспомогательного аргумента

Пример 1.

Пример 2.

Добавить комментарий Отменить ответ