Введение вспомогательного аргумента

2016-06-02

При решении уравнений вида asinx+bcosx=c, a^2+b^2\neq 0 (относительно переменной x) применяют прием, называемый введением вспомогательного аргумента.

Начнем знакомство с этим приемом с примера.

Пример 1. 

Пусть нам нужно решить вот такое уравнение:

\sqrt3 cosx-sinx=-1;

Мы разделим обе части уравнения на 2:

\frac{\sqrt3}{2}cosx-\frac{1}{2}\cdot sinx=-\frac{1}{2};

Что мы замечаем? Коэффициент перед косинусом можно представить, например, как cos\frac{\pi}{6}, а коэффициент перед синусом, соответственно, как sin\frac{\pi}{6}.

Перепишем с учетом этого наше уравнение:

cos\frac{\pi}{6}\cdot cosx-sin\frac{\pi}{6}\cdot sinx=-\frac{1}{2};

Теперь мы можем применить формулу «косинус суммы»

cos(\alpha +\beta)=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta:

cos(\frac{\pi}{6}+x)=-\frac{1}{2};

Откуда

\frac{\pi}{6}+x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;

x=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;

x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n \in Z; или  x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;

Ответ: \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;

Но здесь нам «повезло». Пришлось работать с табличными значениями… А как быть в общем случае?

В общем случае, имея уравнение asinx+bcosx=c, следует сначала обе части разделить на \sqrt{a^2+b^2}.

Мы получим

 \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt {a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};

Заметьте, при этом у нас коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами:

1) |\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1, |\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1;

 2)  (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1;

То есть мы можем обозначить, например, \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}   за   cos\varphi ,  а   \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}  за  sin\varphi , где \varphi – и есть вспомогательный угол.

Тогда уравнение приобретет следующий вид:

sin(x+\varphi )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};

Откуда

x=-\varphi +(-1)^narcsin(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}})+\pi n,\;n\in Z,

где \varphi =arccos(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})  или \varphi =arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}).

Заметим при этом, что если \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}>1, то решений нет.

Пример 2.

Решим уравнение: 3cosx+5sinx=4.

Делим обе части уравнния на \sqrt{3^2+5^2}, то есть на \sqrt{34}:

\frac{3}{\sqrt{34}}cosx+\frac{5}{\sqrt{34}}sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};

Пусть, например,  \frac{3}{\sqrt{34}}=sin\varphi,  тогда \frac{5}{\sqrt{34}}=cos\varphi.

Имеем:

sin\varphi cosx+cos\varphi sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};

sin(\varphi +x)=\frac{4}{\sqrt{34}};

x=(-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-\varphi +\pi n,\; n\in Z,

где \varphi =arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}).

Ответ: (-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}) +\pi n,\; n\in Z.

 

Печать страницы
Комментариев: 6
  1. Лена

    подскажите пож, получается “фи” выбираем произвольно? или синус или косинус?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      В некотором смысле, – произвольность есть, но в малом…
      \varphi =arccos(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}) или \varphi =arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})
      или \varphi =arccos(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}) или \varphi =arcsin(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}).
      Но в любом случае \varphi зависит от a и b из уравнения asinx+bcosx=c.

      [ Ответить ]
      • Лена

        нет это понятно, что зависит, но когда получаем к примеру cost=5/13, а sint=12/13, в учебнике Мордковича, пишут возьмем t=arcsin12/13, почему именно его, а не cos5/13?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          arcsin 12/13 и arccos 5/13 – это одно и тоже)

          [ Ответить ]
  2. q

    Спасибо за статью!

    У Вас во втором примере, в третьей строчке, пропущен “sinx”. Ведь должно быть … (5/sqrt(34))*sinx …

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Конечно, спасибо.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif