Тригонометрические формулы

Основные тригонометрические формулы

$\sin^2\alpha + cos^2 \alpha= 1$ Видео*

$tg\alpha =\frac{\sin\alpha }{\cos \alpha},\;ctg\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$tg^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha},\;ctg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Формулы двойного угла

$sin 2\alpha = 2sin\alpha\:cos\alpha $

$ cos 2 \alpha= cos^2 \alpha – sin^2 \alpha = 2 cos^2 \alpha – 1 = 1 – 2 sin^2 \alpha $

$tg 2 \alpha = \frac{2 tg\alpha}{1 – tg^2 \alpha},\;ctg 2\alpha = \frac{ctg^2\alpha – 1}{2 ctg\alpha}$

Формулы понижения степени

$sin^2\alpha = \frac{1 – cos 2\alpha}{2},\;cos^2\alpha = \frac{1 + cos 2\alpha}{2}$

Формулы сложения аргументов

$sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha cos\beta\pm\cos\alpha sin\beta$

$cos(\alpha\pm\beta)=cos\alpha cos\beta\mp sin\alpha sin\beta$

$tg(\alpha\pm\beta)=\frac{tg\alpha\pm tg\beta}{1\mp tg\alpha tg\beta},\;ctg(\alpha\pm\beta)=\frac{ctg\alpha\pm ctg\beta}{1 \mp ctg\alpha ctg\beta}$

Формулы преобразования произведений функций

$ sin\alpha\:sin\beta = \frac{ cos ( \alpha – \beta) – cos (\alpha +\beta)}{2} $

$sin \alpha\:cos\beta = \frac{ sin ( \alpha – \beta) + sin ( \alpha + \beta)}{2} $
$cos\alpha\:cos\beta=\frac{cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)}{2}$

Формулы преобразования суммы функций

$ sin \alpha \pm sin \beta = 2 sin \frac{ \alpha \pm\beta } cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}$

$ cos \alpha + cos\beta = 2 cos \frac{ \alpha + \beta}{2} cos \frac{ \alpha – \beta}{2}$

$ cos \alpha – cos\beta = -2 sin \frac{ \alpha + \beta}{2} sin \frac{ \alpha – \beta}{2}$

$ tg \alpha \pm tg\beta = \frac{sin(\alpha\pm\beta)}{cos\alpha\:cos\beta},\;ctg\alpha \pm ctg\beta = \frac{ sin(\beta \pm \alpha)}{ sin \alpha\:sin \beta}$

Формулы тройного угла

$sin 3\alpha = 3 sin \alpha – 4 sin^3\alpha $

$cos 3\alpha = 4 cos^3\alpha – 3 cos \alpha $

$tg 3\alpha = \frac{3 tg\alpha – tg^3\alpha}{1 – 3 tg^2\alpha},\;ctg 3\alpha = \frac{3 ctg\alpha – ctg^3\alpha}{1 – 3 ctg^2\alpha}$

Универсальная тригонометрическая подстановка

$ sin\alpha = \frac{2tg\frac{\alpha}{2}} {1 + tg^{2} \frac{\alpha}{2}}$  $cos\alpha =\frac{1 – tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$

 $tg\alpha = \frac{2tg\frac {\alpha}{2}} {1-tg^{2} \frac{\alpha}{2}}$