Архив по категории: Справочные материалы

2023-08-23

ЕГЭ 2023, резерв

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. На ребрах SA, SB, SC и SD отмечены точки L, K, N и M соответственно так, что четырехугольник KLMN  — трапеция с основанием KL  =  3 и MN  =  2. Известно, что $SK:KB=3:1.$

а)  Докажите, что плоскость KLM пересекает ребра SC и SD в их серединах.

б)  Найдите высоту SH пирамиды, если точка пересечения диагоналей пирамиды совпадает с точкой H, площадь основания равна 24, а площадь сечения KLMN  =  10.

Решение:

Задание 17 ЕГЭ 2023, досрок

2023-08-16

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x-a}\cdot sin x=\sqrt{x-a}\cdot cos x$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;\pi]. $

Решение:

$\sqrt{x-a}\cdot sin x=\sqrt{x-a}\cdot cos x;$

$\sqrt{x-a}\cdot (sin x- cos x)=0;$

$\left[\begin{array}{rcl}x=a,\\\begin{cases}sinx=cosx,\\x-a\geq 0;\end{cases};\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}x=a,\\\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z,\\x-a\geq 0;\end{cases};\end{array}\right.$

С учетом условия $x\in [0;\pi]$ имеем:

$\left[\begin{array}{rcl}a=x,\\\begin{cases}x=\frac{\pi}{4},\\a\leq x;\end{cases};\end{array}\right.$

Становится видно, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;\pi]$ при $a\in (-\infty;0)\cup [\frac{\pi}{4};\pi].$


Ответ: $(-\infty;0)\cup [\frac{\pi}{4};\pi].$

2023-06-18

Задание 15 ЕГЭ 2023

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг увеличивается на $10$% по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
  • в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;
  • в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменышается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет.

Известно, что в конце 2030 года долг составил $800$ тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна $2090$ тысяч рублей.

Решение:

2023-06-13

(Реальный ЕГЭ 2023)

Решите неравенство: $\large \frac{log_2x^2-log_3x^2}{log_6^2(2x^2-10x+12,5)+1}\geq 0$


Решение:

$\Large \frac{log_2x^2-log_3x^2}{log_6^2(2x^2-10x+12,5)+1}\geq 0;$

$\Large \frac{log_2x^2-\frac{log_2x^2}{log_23}}{log_6^2(2x^2-10x+12,5)+1}\geq 0;$

Заметим,  

$\large log_6^2(2x^2-10x+12,5)+1>0$ при $\large 2x^2-10x+12,5>0.$

Тогда

$\large log_2x^2-\frac{log_2x^2}{log_23}\geq 0$ при условии $\large 4x^2-20x+25>0;$  

$\large log_2x^2\cdot (1-log_23)\geq 0$ при условии $\large (2x-5)^2>0;$

$\large log_2x^2\cdot (log_33-log_23)\geq 0$ при условии $\large x\neq 2,5;$

$\large log_2x^2\cdot log_31,5\geq 0$ при условии $\large x\neq 2,5;$

Заметим, $\large log_31,5>log_31=0.$

$\large log_2x^2\geq 0,$ $\large x\neq 2,5.$

Используем метод рационализации:

$\large (2-1)(x^2-1)\geq 0,$ $\large x\neq 2,5,x^2>0;$

$\large (x-1)(x+1)\geq 0,$ $\large x\neq 2,5,x\neq 0;$

$\large x\in (-\infty;-1]\cup [1;1,25)\cup (1,25;+\infty).$

Ответ: $\large (-\infty;-1]\cup [1;1,25)\cup (1,25;+\infty).$

Тест “Гиперболы”

2022-10-24

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь

Тест “Линейная функция”

2022-01-11

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь

Тест “Параболы”

2022-01-06

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь

Реальный ЕГЭ от 7 июня 2021. Основная волна. Вариант 3

2024-05-19

№ 13. а) Решите уравнение $4cos^3x-2\sqrt3 cos2x+3cosx=2\sqrt3;$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi; 3,5\pi].$

Решение: [spoiler]

Читать далее

Тест. Физический смысл производной

2021-06-18

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь

№18 Тренировочной работы 283 А. Ларина

2023-06-13

Смотрите также №13 и №15 Т/Р №283 А. Ларина

18. Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$log_{3x-4}(a+9x+5)=-1$

имеет единственный корень на промежутке $(\frac{4}{3};2].$
Читать далее

№14 Тренировочного варианта 280 А. Ларина

2023-06-13

Смотрите также №16 Т/Р №280

16. Плоскость $\alpha $ пендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды  $SABC$ и делит стороны $AB$   и  $BC$   основания пополам.

а) Докажите, что плоскость $\alpha $ делит боковое ребро в отношении $1:3$, считая от вершины $S$.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость $\alpha $ разбивает пирамиду. Читать далее

Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям

2019-09-08

Данное утверждение  может быть очень полезно при решении задач на внешне касающиеся окружности.

Теорема Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов. Читать далее

Уравнение окружности

2019-08-13

Читать далее

Равносильность

2019-08-27

[latexpage]Равносильность

Равносильными или эквивалентными называются уравнения (неравенства), множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения (неравенства), которые не имеют корней. Читать далее

Задание №16. Досрочный ЕГЭ 2018

2023-06-14

Смотрите также задания №1-12№13; №14; №15№17№18; №19

16. В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $H$ — точка пересечения продолжений высот, угол $AHC$ равен $60$°.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120$°.
б) Найдите $BH$, если $AB= 7, BC = 8.$

Читать далее