Реальный ЕГЭ от 7 июня 2021. Основная волна. Вариант 3

a)

$4cos^3x-2\sqrt3(2cos^2x-1)+3cosx=2\sqrt3;$

$4cos^3x-4\sqrt3cos^2x+2\sqrt3+3cosx-2\sqrt3=0;$

$4cos^3x-4\sqrt3cos^2x+3cosx=0;$

$cosx(4cos^2x-4\sqrt3cosx+3)=0;$

$cosx(2cosx-\sqrt3)^2=0;$

$cosx=0$ или $cosx=\frac{\sqrt3}{2};$

$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ или $x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения при помощи тригонометрической окружности:

Ответ: а) $\frac{\pi}{2}+\pi n, \pm \frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z.$

б) $\frac{13\pi}{6}; 2,5\pi; 3,5\pi.$

a) Параллельные плоскости $KQP,ABC$ пересекаются третьей $ASC$ по параллельным прямым, поэтому $KP\parallel AC.$ Аналогично $PQ\parallel BC.$ Поскольку $K$ – середина $AS,$ то $KP,PQ$ – средние линии треугольников $ACS,BCS.$ То есть $P,Q$ – середины $SC,SB.$

Треугольники $PQS,CBS$ подобны, $k=2,$ их площади находятся в отношении $k^2=4,$ то есть $S_{CBS}=4S_{PQS},$ откуда

$S_{PQBC}:S_{BCS}=(4S_{PQS}-S_{PQS}):4S_{PQS}=3:4.$

б) Будем рассматривать пирамиду $KCBQP$ как пирамиду с вершиной $K.$ Тогда нужно понять, – что есть расстояние от $K$ до $BSC.$

Пусть $N$ – середина $BC,$ $KE\perp SN.$ Поскольку $BC\perp ANS$ (действительно, $BC\perp AN,BC\perp SN$), то и $BC\perp KE.$ Итак, $KE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SN,BC,$ образующим плоскость $BCS,$ то есть $KE$ – расстояние от точки $K$ до плоскости $BCS.$

$V_{KCBQP}=\frac{1}{3}\cdot S_{BCPQ}\cdot KE;$

$V_{KCBQP}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}S_{BCS}\cdot KE.$

$AN=\sqrt{AC^2-CN^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt3;$

$SN=\sqrt{SH^2+HN^2}=\sqrt{SH^2+(\frac{1}{3}AN)^2}=\sqrt{100+\frac{64}{3}}=\frac{2\sqrt{91}}{\sqrt3};$

$S_{BCS}=\frac{1}{2}\cdot SN\cdot BC=\frac{16\sqrt{91}}{\sqrt3};$

Пусть $AF\perp SN.$

$S_{ASN}=\frac{AF\cdot SN}{2}=\frac{SH\cdot AN}{2},$

откуда

$AF=\frac{SH\cdot AN}{SN}=\frac{10\cdot 8\sqrt3}{\frac{2\sqrt{91}}{\sqrt3}}=\frac{120}{\sqrt{91}}.$

Стало быть,

$KE=\frac{AF}{2}=\frac{60}{\sqrt{91}}.$

Наконец,

$V_{KCBQP}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{16\sqrt{91}}{\sqrt3}\cdot \frac{60}{\sqrt{91}}=80\sqrt{3}.$

Ответ: $80\sqrt{3}.$

$(9^x-3^{x+1})^2-8\cdot 9^x+8\cdot 3^{x+1}<20;$

Наблюдаем в левой части неравенства квадратный трехчлен относительно $(9^x-3^{x+1}):$

$(9^x-3^{x+1})^2-8(9^x-3^{x+1})-20<0;$

$(9^x-3^{x+1}-10)(9^x-3^{x+1}+2)<0;$

$(9^x-3\cdot 3^{x}-10)(9^x-3\cdot 3^{x}+2)<0;$

$(3^x-5)(3^x+2)(3^x-2)(3^x-1)<0;$

$(3^x-5)(3^x-2)(3^x-1)<0;$

$(3^x-3^{log_35})(3^x-3^{log_32})(3^x-3^0)<0;$

Используем метод рационализации:

$(x-log_35)(x-log_32)x<0;$

$x\in (-\infty;0)\cup (log_32;log_35).$

Ответ: $(-\infty;0)\cup (log_32;log_35).$

a) Пусть $\angle A=\alpha.$ Тогда $\angle CDN=\angle CND=\alpha,$ $\angle DCN=180^{\circ}-2\alpha,$ $\angle BCN=180^{\circ}-\alpha.$

Но и $\angle ADM=\angle AMD=\alpha,$ $\angle MAD=180^{\circ}-2\alpha,$ $\angle MAB=180^{\circ}-\alpha.$

Таким образом $\angle MAB=\angle BCN$ и $AM=AD=BC, AB=CD=CN.$

Треугольники $ABM,CNB$ равны по первому признаку. Откуда $MB=BN.$

б) Треугольники $MAN,MCN$ с общей стороной $MN$ имеют равные углы $MAN,MCN,$ тогда точки $A,C,N,M$ лежат на одной окружности.

По теорме синусов для треугольника $MAN:$

$\frac{MN}{sin(180^{\circ}-2\alpha)}=2R.$

По теорме синусов для треугольника $ACM:$

$\frac{AC}{sin\alpha}=2R.$

Тогда

$\frac{MN}{sin(180^{\circ}-2\alpha)}=\frac{AC}{sin\alpha};$

$MN=\frac{AC\cdot sin(180^{\circ}-2\alpha)}{sin\alpha}}=\frac{4\cdot sin2\alpha}{sin\alpha}=4\cdot 2cos\alpha=8\cdot \frac{15}{17}=\frac{120}{17}.$

Ответ: $\frac{120}{17}.$

Первая выплата составила: $100+\frac{r}{100}\cdot 600;$

Вторая выплата составила: $100+\frac{r}{100}\cdot 500;$

Третья выплата составила: $100+\frac{r}{100}\cdot 400;$

Четвёртая выплата составила: $100+0,15\cdot 300;$

Пятая выплата составила: $100+0,15\cdot 200;$

Шестая выплата составила: $100+0,15\cdot 100.$

Тогда

$6\cdot 100+\frac{r}{100}\cdot \frac{600+400}{2}\cdot 3+0,15\cdot \frac{300+100}{2}\cdot 3=930;$

$\frac{r}{100}\cdot 1500+0,15\cdot 600=330;$

$15r+90=330;$

$15r=240;$

$r=16.$

Ответ: $16.$

Случай 1: $x<-1$

$a(-x-1)+(1-a)(1-x)+2=0;$

$-ax-a+1-x-a+ax+2=0;$

$-2a-x+3=0;$

$a=\frac{3-x}{2}.$

Случай 2: $-1\leq x\leq 1$

$a(x+1)+(1-a)(1-x)+2=0;$

$ax+a+1-x-a+ax+2=0;$

$2ax-x+3=0;$

$a=\frac{x-3}{2x}.$

Случай 3: $x>1$

$a(x+1)+(1-a)(x-1)+2=0;$

$ax+a+x-1+a-ax+2=0;$

$2a+x+1=0;$

$a=\frac{-x-1}{2}.$

Ответ: $(-\infty;-1)\cup (2:+\infty).$

а) Равенство $A\cdot S=28000$ не может выполняться, так как $A\leq 999,S\leq 27,$ откуда $AS\leq 26973.$

б) Число $2971$ не делится ни на какое натуральное число до $27$ включительно, кроме $1.$ Но вариант $1\cdot 2971,$ очевидно, не подходит.

в) Покажем, что наибольшее произведение $A\cdotS$ есть $5992.$

Пусть $A\cdot S=5996=2^2\cdot 1499,$ вариант невозможен.

Пусть $A\cdot S=5995=5\cdot 11\cdot 109.$ В этом случае $A$ кратно $109,$ то есть $A=545.$ Но тогда $S=14,$ но $545\cdot 14\neq 5995.$

Пусть $A\cdot S=5994=2\cdot 3^4\cdot 37.$ В этом случае $A$ кратно $37,$ то есть $A=222, A=333$ или $A=666.$

Если $A=222,$ то $S=6,$ но $222\cdot 6\neq 5994.$

Если $A=333,$ то $S=9,$ но $333\cdot 9\neq 5994.$

Если $A=666,$ то $S=18,$ но $666\cdot 18\neq 5994.$

Пусть $A\cdot S=5993=13\cdot 461.$ В этом случае $A=461,$ но тогда $S=11,$ но $A\cdot S\neq 5993.$

Пусть $A\cdot S=5992=14\cdot 428.$

$A=428,$ $S=14.$

Ответ: a) нет; б) нет; в) $5992.$