[latexpage]Равносильность
Равносильными или эквивалентными называются уравнения (неравенства), множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения (неравенства), которые не имеют корней.
Пример 1.
Уравнения $x^2-5x+6=0$ и $\frac{x^2}{x+3}=\frac{5x-6}{x+3}$ равносильны, так как имеют одни и те же корни.
Пример 2.
Уравнения $\frac{5}{x-3}=0$ и $\sqrt{-4-x^2}=0$ также равносильны, так как решением каждого из них является пустое множество.
Пример 3.
Неравенства $|x|<3$ и $x^2<9$ равносильны, так как решением и того, и другого является множество $(-3;3)$.
Пример 4.
$(x-3)^2=1$ и $x-3=1$ – неравносильны.
Решение второго уравнения является только $4$, а решением первого – и $4$, и $2.$
Добавить комментарий