Формулы приведения

 Медленно, но верно. Далее сформулируем правило

Пример 1. Упростим $sin(\pi+\alpha)$.

Считаем $\alpha$  – углом первой четверти! 

Отмечаем углы $\alpha$,  $\pi+\alpha$:

    

Отмечаем значения $sin(\pi+\alpha)$ и $sin\alpha$:

Очевидно,  длина «зеленого» катета равна длине «красного» в силу равенства «серых» треугольников:

Но только $sin(\pi+\alpha)$ – отрицательная величина, а $sin\alpha$ – положительная.

Поэтому $\color{red}sin(\pi+\alpha)=-sin\alpha.$

---

Пример 2. Упростим $cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)$.

Вот $cos\alpha$ и $sin\alpha$:

Вот $\frac{3\pi}{2}-\alpha$:

И вот $cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)$:

Из следующей картинки хорошо видно, что длина отрезка, помеченного синим цветом, равна длине отрезка, помеченного зеленым цветом.

При этом $cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)$ – отрицательная величина, $sin\alpha$ – положительная.

Поэтому $\quicklatex{color=”red”}cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-sin\alpha.$

---

Пример 3. Упростим $cos(2\pi-\alpha)$.

Вот $cos\alpha$:

Значение же $cos(2\pi-\alpha)$, как хорошо видно на картинке, то же, что и $cos\alpha:$

Поэтому $\quicklatex{color=”red”}cos(2\pi-\alpha)=cos\alpha$.

Можно разбирать примеры и дальше для более четкого выявления закономерностей, но давайте уже сформулируем правило, на которое будем опираться при работе с формулами приведения.

Вы всегда сможете проверить «правильность» формулы способом, который мы только что применяли.

(то есть синнус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).

Чтобы ответить на этот вопрос нужно, не смейтесь, – подвигать головой вдоль оси, на которой располагается  ключевая точка. Ключевые точки всегда располагаются здесь (см. рис.):

Например, в формулах $sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha),\;cos(10\pi+\alpha),\;tg(\frac{5\pi}{2}+30^{\circ})$ – ключевые точки – это $\frac{3\pi}{2},\;10\pi,\;\frac{5\pi}{2}$.

Так вот если вы мотаете головой вдоль горизонтальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы, как бы, отвечаете «нет» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?»

Если вы киваете головой вдоль вертикальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы отвечаете «да» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?».

Решение:

1. $sin2130^{\circ}=sin(360^{\circ}\cdot 6-30^{\circ})$

Ключевая точка $360^{\circ}\cdot 6$ располагается на горизонтальной оси:

Название функции меняться не будет.

 2. Исходное значение $sin2130^{\circ}$ – отрицательно, так как располагается в IV четверти:

Итак, $sin2130^{\circ}=-sin30^{\circ}=-0,5.$

Ответ: $-0,5.$

Решение: 

1. $\sqrt2cos\frac{21\pi}{4}=\sqrt2cos(\frac{20\pi}{4}+\frac{\pi}{4})=\sqrt2cos(5\pi+\frac{\pi}{4})$

Ключевая точка $5\pi$ располагается на горизонтальной оси:

Название функции меняться не будет.

2. Исходное значение $\sqrt2cos\frac{21\pi}{4}$ – отрицательно, так как располагается в III четверти:

Итак,

$\sqrt2cos\frac{21\pi}{4}=-\sqrt2cos\frac{\pi}{4}=-\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=-1.$

Ответ: $-1.$ 

Решение: 

$cos(\alpha+\pi)=-cos\alpha$ (название не меняем, знаки $cos(\alpha+\pi)$ и  $cos\alpha$  различаются, как видим из картинки, – ставим справа знак «-»)

$sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos\alpha$  (название меняем, знаки  $sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$  и $cos\alpha$, как видно из картинки, одинаковы, – ставим справа знак «+»)

$cos^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin^2\alpha$ (название меняем, проверять знак нет необходимости, так как все равно у нас функция – в квадрате)

$tg(\alpha-\pi)=tg\alpha$ (название не меняем,  знаки  $tg(\alpha-\pi)$  и $tg\alpha$, как видно из картинки, одинаковы, ставим справа знак  «+»)

$sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=cos\alpha$ (название меняем,  знаки  $sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)$  и $cos\alpha$, как видно из картинки, одинаковы, ставим справа знак  «+» )

Итак,

$\frac{cos(\alpha+\pi)sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)-cos^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{tg(\alpha-\pi)sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=\frac{-cos\alpha\cdot cos\alpha-sin^2\alpha}{tg\alpha \cdot cos\alpha}=\frac{-1}{sin\alpha}.$

Ответ: $-\frac{1}{sin\alpha}.$