Формулы приведения

2015-05-18

Стоит ли учить формулы приведения?

 

Вы в состоянии выучить вот такую таблицу? :(

А без приведения сложных аргументов тригонометрических функций к аргументам первой четверти на ЕГЭ по математике никуда.

Но нет необходимости учить эту таблицу!

Нужно просто потратить немного времени и понять алгоритм применения формул приведения.

Не будем терять время! Поехали!

Зачем вообще формулы приведения?

 

Формулы приведения позволяют упростить вычисления, привести сложные аргументы тригонометрических функций  к аргументам  I четверти.

Вот, например, типичное задание из ЕГЭ по математике:

Вычислите sin2130^{\circ} или \sqrt2cos\frac{21\pi}{4}.

Давайте разбираться. А к примерам вернемся чуть позже.

 

Если хотите докапаться до самой сути, то –> + показать

Мнемоническое правило для формул приведения 

 

1. Задаем себе вопрос: «Меняется ли название функции на кофункцию?» (то есть синнус на косинус, косинус на синус, тангенст на котангенс и котангенс на тангенс).

Чтобы ответить на этот вопрос нужно, не смейтесь, – подвигать головой вдоль оси, на которой располагается  ключевая точка. Ключевые точки всегда располагаются здесь (см. рис.):

Например, в формулах sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha),\;cos(10\pi+\alpha),\;tg(\frac{5\pi}{2}+30^{\circ}) – ключевые точки – это \frac{3\pi}{2},\;10\pi,\;\frac{5\pi}{2}.

Так вот если вы мотаете головой вдоль горизонтальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы, как бы, отвечаете «нет» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?»

Если вы киваете головой вдоль вертикальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы отвечаете «да» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?».

2. Ставим справа, на выходе, тот знак, какой несет в себе левая, исходная, часть.

Данное правило еще  называется «лошадиным».

 

Примеры 

 

При выполнении заданий нам понадобятся основные значения тригонометрических функций.

Задача 1.

Вычислить sin2130^{\circ}.

Решение:

1. sin2130^{\circ}=sin(360^{\circ}\cdot 6-30^{\circ})

Ключевая точка 360^{\circ}\cdot 6 располагается на горизонтальной оси:

Название функции меняться не будет.

 2. Исходное значение sin2130^{\circ}отрицательно, так как располагается в IV четверти:

Итак, sin2130^{\circ}=-sin30^{\circ}=-0,5;

Ответ: -0,5.

Задача 2.

Вычислить \sqrt2cos\frac{21\pi}{4}.

Решение:

1. \sqrt2cos\frac{21\pi}{4}=\sqrt2cos(\frac{20\pi}{4}+\frac{\pi}{4})=\sqrt2cos(5\pi+\frac{\pi}{4})

Ключевая точка 5\pi располагается на горизонтальной оси:

Название функции меняться не будет.

2. Исходное значение \sqrt2cos\frac{21\pi}{4} – отрицательно, так как располагается в III четверти:

Итак, \sqrt2cos\frac{21\pi}{4}=-\sqrt2cos\frac{\pi}{4}=-\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=-1;

Ответ: -1.

Задача 3.

Упростить \frac{cos(\alpha+\pi)sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)-cos^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{tg(\alpha-\pi)sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}.

Решение: 

cos(\alpha+\pi)=-cos\alpha (название не меняем, знаки cos(\alpha+\pi) и  cos\alpha  различаются, как видим из картинки, – ставим справа знак «-»)

sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos\alpha  (название меняем, знаки  sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)  и cos\alpha, как видно из картинки, одинаковы, – ставим справа знак «+»)

cos^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin^2\alpha (название меняем, проверять знак нет необходимости, так как все равно у нас функция – в квадрате)

tg(\alpha-\pi)=tg\alpha (название не меняем,  знаки  tg(\alpha-\pi)  и tg\alpha, как видно из картинки, одинаковы, ставим справа знак  «+»)

sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=cos\alpha (название меняем,  знаки  sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)  и cos\alpha, как видно из картинки, одинаковы, ставим справа знак  «+» )

Итак,

\frac{cos(\alpha+\pi)sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)-cos^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{tg(\alpha-\pi)sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=\frac{-cos\alpha\cdot cos\alpha-sin^2\alpha}{tg\alpha \cdot cos\alpha}=\frac{-1}{sin\alpha};

Ответ: -\frac{1}{sin\alpha}.

Печать страницы
Комментариев: 6
  1. Анатолий Шевелев

    Спасибо, здесь всё очень понятно и доступно ;)

    [ Ответить ]
  2. Александр

    Просто замечательный сайт=)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Спасибо!

      [ Ответить ]
  3. Мария

    Ваш сайт – один из самых лучших! Спасибо!!!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, спасибо!

      [ Ответить ]
  4. Евгения

    Все понятно, примеры информативные. Спасибо!

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif