Функция вида $y=ax^2+bx+c$ , где $a\neq 0$ называется квадратичной функцией.
График квадратичной функции – парабола.
Рассмотрим случаи:
I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
$y=x^2$, то есть $a=1$, $b=0$, $c=0$
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай $a=-1$, $b=0$, $c=0$, то есть $y=-x^2$, то мы получим параболу, симметричную $y=x^2$ относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ
+ показать
Что же будет, если мы будем брать $a=2$, $a=-3$, $a=0.5$? Как изменится поведение параболы? При $|a|>1$ парабола $y=ax^2$ изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой $y=x^2$ (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами): На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы $y=x^2$ (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях $x$ ордината $y$ каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3. А при $|a|<1$ парабола $y=ax^2$ «станет шире» параболы $y=x^2$: Давайте подитожим: 1) Знак коэффициента $a$ отвечает за направление ветвей. При $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз. 2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) $a$ отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше $|a|$, тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола. + показать
Теперь давайте введем в игру $c$ (то есть рассматриваем случай, когда $c\neq 0$), будем рассматривать параболы вида $y=ax^2+c$. Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы $y=ax^2$ вдоль оси $(oy)$ вверх или вниз в зависимости от знака $c$: + показать
Когда же парабола “оторвется” от оси $(oy)$ и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда $b$ перестанет быть равным $0$. Здесь для построения параболы $y=ax^2+bx+c$ нам понадобится формула для вычисления вершины: $x_o=\frac{-b}{2a}$, $y_o=y(x_o)$. Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу $y=ax^2$, что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем $a=1$, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с $a=2$, например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д. Например, вершина параболы $y=x^2-4x-2$: $x_o=\frac{4}{2}=2$, $y_o=(2)^2-4\cdot 2 -2=-6$. Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы $y=x^2$, ведь $a=1$ в нашем случае. При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты: 1) парабола обязательно пройдет через точку $(0;c)$. Действительно, подставив в формулу $y=ax^2+bx+c$ x=0, получим, что $y=c$. То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это $c$. В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке $-2$, так как $c=-2$. 2) осью симметрии параболы является прямая $x=\frac{-b}{2a}$, поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола. 3) Приравнивая $y$ к $0$, мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение $ax^2+bx+c=0$. В зависимости от дискриминанта, будем получать одну ($D=0$, $x=-\frac{b}{2a}$), две ($D>0$, $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$) или нИсколько ($D<0$) точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как $D>0$), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта. + показать
1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз) 2) находим координаты вершины $(x_o;y_o)$ параболы по формуле $x_o=\frac{-b}{2a}$, $y_o=y(x_o)$. 3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену $c$, строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение $c$ велико… пропускаем этот пункт…) 4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу $y=ax^2$. Если $|a|>1$, то парабола $y=ax^2$ становится у’же по сравнению с $y=x^2$, если $|a|<1$, то парабола расширяется по сравнению с $y=x^2$ 5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение $ax^2+bx+c=0$
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»
http://youtu.be/mQqrrc9yExM
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»
АЛГОРИТМ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПАРАБОЛЫ, ЕСЛИ ОНА ЗАДАНА В ВИДЕ $y=ax^2+bx+c$
Примеры + показать
Пример 1 Пример 2
Замечание 1. + показать
Возьмем квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ и выделим в нем полный квадрат: $ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a((x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c.$ Посмотрите, вот мы и получили, что $m=\frac{-b}{2a}$, $n=-\frac{b^2}{4a}+c=y(\frac{-b}{2a})$. Мы с вами ранее называли вершину параболы $(x_o; y_o)$, то есть теперь $x_o=m$, $y_o=n$. Например, $y=-\frac{1}{3}{(x+2)}^2+6$. Отмечаем на плоскости вершину параболы $(-2; 6)$, понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно $y=x^2$). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. + показать
спасибо
У вас ошибка в замечании 1, неверно разложен трехчлен, и как следствие неверно расчитывается n. n=C-(b^2/4a)
Наталья, спасибо большое! Подправила