Теорема Менелая

2015-12-09

Если на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки C_1 и A_1, а точка B_1 взята на продолжении стороны AC за точку C, то точки C_1, A_1 и B_1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1.

Доказательство:

=> Докажем прежде, что если точки C_1, A_1 и B_1 лежат на одной прямой, то выполняется равенство 

\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1.

Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Пусть она пересекается с прямой C_1B_1 в точке D.

Треугольники A_1BC_1,A_1CD подобны по двум углам (см. рис), тогда

\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{C_1B}{DC}  (1)

Треугольники CDB_1,AC_1B_1 подобны по двум углам (см. рис), тогда

\frac{CB_1}{AB_1}=\frac{DC}{C_1A}  (2)

Умножим (1) на (2), получим

\frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{C_1B}{DC}\cdot \frac{DC}{C_1A};

\frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{C_1B}{C_1A}.

Домножим обе части последнего равенства на \frac{AC_1}{BC_1}:

\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1.

<= Докажем теперь, что если выполняется равенство \frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1, то точки C_1, A_1 и B_1 лежат на одной прямой.

Пусть прямая A_1C_1 пересекает прямую AC в некоторой точке B_2. Покажем, что B_2=B_1.

Для точек C_1,A_1,B_2, лежащих на одной прямой, выполняется равенство

\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_2}{B_2A}=1  (3)

А по условию выполняется и

\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1  (4)

 Разделим (3) на (4), получим

\frac{CB_2}{B_2A}\cdot \frac{B_1A}{CB_1}=1

или

\frac{CB_2}{B_2A}=\frac{CB_1}{B_1A}.

Откуда

\frac{AB_2-AC}{B_2A}=\frac{AB_1-AC}{B_1A};

1-\frac{AC}{B_2A}=1-\frac{AC}{B_1A};

\frac{AC}{B_2A}=\frac{AC}{B_1A};

B_2A=B_1A, то есть B_2=B_1.

Что и требовалось доказать.

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Мария

    Здравствуйте. в начале теоремы поставьте знак умножения

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, спасибо!!! :) :) :)

      [ Ответить ]
  2. Алиса

    Скажите пожалуйста, а возможно ли воспользоваться данной теоремой на ЕГЭ без док-ва?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, просто указываете, что «… по теореме Менелая…»

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif