Если на сторонах и
треугольника
взяты соответственно точки
и
, а точка
взята на продолжении стороны
за точку
, то точки
,
и
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство
Доказательство:
=> Докажем прежде, что если точки ,
и
лежат на одной прямой, то выполняется равенство
Проведем через точку прямую, параллельную
. Пусть она пересекается с прямой
в точке
.
Треугольники подобны по двум углам (см. рис), тогда
(1)
Треугольники подобны по двум углам (см. рис), тогда
(2)
Умножим (1) на (2), получим
Домножим обе части последнего равенства на
<= Докажем теперь, что если выполняется равенство , то точки
,
и
лежат на одной прямой.
Пусть прямая пересекает прямую
в некоторой точке
Покажем, что
Для точек , лежащих на одной прямой, выполняется равенство
(3)
А по условию выполняется и
(4)
Разделим (3) на (4), получим
или
Откуда
, то есть
Что и требовалось доказать.
Здравствуйте. в начале теоремы поставьте знак умножения
Мария, спасибо!!! :) :) :)
Скажите пожалуйста, а возможно ли воспользоваться данной теоремой на ЕГЭ без док-ва?
Да, просто указываете, что «… по теореме Менелая…»
Разве приведённая теорема — это не СЛЕДСТВИЕ из теоремы Менелая для длин отрезков?