Теорема Менелая

Если на сторонах  и  треугольника  взяты соответственно точки  и , а точка  взята на продолжении стороны  за точку , то точки ,  и  лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Доказательство:

=> Докажем прежде, что если точки ,  и  лежат на одной прямой, то выполняется равенство 

Проведем через точку прямую, параллельную . Пусть она пересекается с прямой в точке .

Треугольники подобны по двум углам (см. рис), тогда

 (1)

Треугольники подобны по двум углам (см. рис), тогда

 (2)

Умножим (1) на (2), получим

Домножим обе части последнего равенства на

<= Докажем теперь, что если выполняется равенство , то точки ,  и  лежат на одной прямой.

Пусть прямая пересекает прямую в некоторой точке Покажем, что

Для точек , лежащих на одной прямой, выполняется равенство

 (3)

А по условию выполняется и

 (4)

 Разделим (3) на (4), получим

или

Откуда

, то есть

Что и требовалось доказать.