Тригонометрический круг II

2016-08-25

Продолжение (начало здесь)

Перевод радиан в градусы и градусы в радианы

 

На тригонометрическом круге  помимо углов  в градусы мы наблюдаем радианы.

Подробнее про радианы:+ показать

Все знают, что \pi радиан –  это 180^{\circ}.

Так вот, например, \frac{\pi}{3}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}, а \frac{11\pi}{6}=\frac{11\cdot 180^{\circ}}{6}=330^{\circ}. Так, мы научились переводить радианы в углы.

Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы.

Допустим, нам надо перевести 80^{\circ} в радианы. Нам поможет пропорция. Поступаем следующим образом:

Так как, 180^{\circ}=\pi радиан, то заполним таблицу:

Откуда 80^{\circ}=\frac{80\cdot \pi}{180}=\frac{4\pi}{9}

 

Тренируемся находить  значения  синуса и косинуса по кругу

 

Давайте еще уточним следующее.

Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, \sin 30^{\circ}, – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать 30^{\circ} на круге.

А если просят вычислить, например, \sin0… Многие, вдруг, начинают не понимают где искать этот ноль… Частенько ищут его  в начале координат. Почему?

1) Давайте договоримся раз и навсегда! То, что стоит после \sin или \cos  – это аргумент=угол, а  углы у нас располагаются на круге, не ищите их на осяx! (Просто отдельные точки попадают и на круг, и на ось…) А сами значения синусов и косинусов – ищем на осях!

2) И еще! Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов, значения углов растут при движении в этом направлении.

Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов. 

 

Пример 1. 

Найти значение \sin 0^{\circ}.

Решение:

Находим на круге 0^{\circ}. Проецируем точку на ось синусов (то есть проводим перпендикуляр из точки 0^{\circ} к оси синусов (оу)).

Приходим в 0. Значит, \sin 0^{\circ}=0.

Пример 2. 

Найти значение \sin 270^{\circ}.

Решение:

Находим на круге 270^{\circ} (проходим против часовой стрелки 180^{\circ}  и еще 90^{\circ} ). Проецируем точку на ось синусов (а она уже лежит на оси синусов).

Попадаем в -1 по оси синусов.

Значит, \sin 270^{\circ}=-1.

Заметим, за точкой 270^{\circ} «скрываются» такие точки, как -90^{\circ}  (мы могли бы пойти в точку, помеченную как  270^{\circ},  по часовой стрелке, а значит появляется знак минус), 270^{\circ}+360^{\circ} и бесконечно много других.

Можно привести такую аналогию:

Представим тригонометрический круг как беговую дорожку стадиона.

Вы ведь можете оказаться в точке «Флажок», отправляюсь со старта против часовой стрелки, пробежав, допустим, 300 м.   Или пробежав, скажем, 100м  по часовой стрелке (считаем длину дорожки 400 м).

А также вы можете оказаться в точке «Флажок» (после «старт»), пробежав, скажем, 700 м, 1100 м, 1500 м и т. д. против часовой стрелки. Вы можете оказаться в точке «Флажок», пробежав 500 м или 900 м и т. д.  по часовой стрелке от «старт».

Разверните мысленно беговую дорожку стадиона в числовую прямую. Представьте, где на этой прямой будут, например,  значения 300, 700, 1100, 1500 и т.д. Мы  увидим точки на числовой прямой, равноотстоящие друг от друга. Свернем обратно в круг. Точки «cлепятся» в одну.

Так и с тригонометрическим кругом. За каждой точкой скрыто бесконечно много других.

Скажем,  углы 30^{\circ}390^{\circ}750^{\circ}-330^{\circ} и т.д. изображаются одной точкой. И  значения синуса, косинуса в них, конечно же, совпадают. (Вы заметили, что мы прибавляли/вычитали 360^{\circ} или 2\pi? Это период для функции синус и косинус.)

Пример 3. 

Найти значение \sin (-\frac{7\pi}{6}).

Решение:

Переведем для простоты -\frac{7\pi}{6} в градусы

(позже, когда вы привыкнете к тригонометрическому кругу, вам не потребуется переводить радианы в градусы):

-\frac{7\pi}{6}=-210^{\circ}

Двигаться будем по часовой стрелки от точки 0^{\circ}.  Пройдем полкруга (180^{\circ}) и еще 30^{\circ}.

Понимаем, что значение синуса -210^{\circ} совпадает со значением  синуса  30^{\circ}   и равняется \frac{1}{2}.

\sin (-\frac{7\pi}{6})=\frac{1}{2}.

 

Заметим, если б мы взяли, например, 150^{\circ} или 510^{\circ} и т.д., то мы получили бы все тоже значение синуса.

Пример 4. 

Найти значение \cos (\frac{5\pi}{4}).

Решение:

Все же, не будем переводить радианы в градусы, как в предыдущем примере.

\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}.

То есть нам надо пройти против часовой стрелки полкруга и еще четверть полкруга и спроецировать полученную точку на ось косинусов (горизонтальная ось).

\cos (\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt2}{2}.

Пример 5. 

Найти значение \cos (-\frac{25\pi}{6}).

Решение:

Как отложить на тригонометрическом круге -\frac{25\pi}{6}?

-\frac{25\pi}{6}=-(\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6})=-(4\pi+\frac{\pi}{6}).

Если мы пройдем 4\pi или -4\pi, да хоть 2014\pi, мы все равно окажемся   в точке, которую мы обозначили как  «старт».   Поэтому, можно сразу пройти в точку на круге -\frac{\pi}{6}.

\cos (-\frac{25\pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2}.

Пример 6. 

Найти значение \cos (-1500^{\circ}).

Решение:

-1500^{\circ}=-(60^{\circ}+4\cdot 360^{\circ}).

Мы окажемся в точке -60^{\circ} (4\cdot 360^{\circ} приведет нас все равно в точку ноль). Проецируем  точку круга  -60^{\circ} на ось косинусов (смотри тригонометрический круг), попадаем в \frac{1}{2}. То есть \cos (-1500^{\circ})=0,5.

Тригонометрический круг – у вас в руках

 

Вы же уже поняли, что главное – запомнить значения тригонометрических функций первой четверти. В остальных четвертях все аналогично, нужно лишь следить за знаками.  А «цепочку-лесенку»  значений тригонометрических функций, вы, надеюсь уже не забудете. тригонометрия в руке

Как находить значения тангенса и котангенса основных углов смотрите здесь.

После чего, познакомившись с основными значениями тангенса и котангенса, вы можете пройти   тест по теме «Нахождение значений косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов различных углов»

 

Ссылочка на пустой шаблон круга. Тренируйтесь!

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Сергей

    Здравствуйте, могли бы вы подсказать, что значит свойство sin (t+pi/2)=cos t и cos(t+pi/2)=-sin t ? А как это возможно, если мы на 90 градусов уйдем влево-вправо, поменяется четверть круга, и знак, соответственно, почему же у косинуса будет тот же знак, что и у синуса t+пи/2 ?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сергей, вам сюда.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif