Главная › Справочные материалы › Площадь ортогональной проекции многоугольника

19 Фев 2014

Категория: Справочные материалы

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Елена Репина 2014-02-19 2014-02-19

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекций.

Докажем теорему для треугольника. Поскольку многоугольник разбивается на треугольники, сумма площадей которых есть площадь многоугольника, то и для многоугольника теорема будет верна.

Доказательство:

Пусть треугольник $A_1B_1C_1$ – проекция треугольника $ABC$ на проецируемую плоскость.

Докажем, что

$S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}\cdot cos\alpha$ ,

где $\alpha$ – угол между плоскостями $ABC,\;A_1B_1C_1$

Для этого разобьем треугольник $ABC$ на два треугольника c общей стороной $AM$ , параллельной прямой $l$ пересечения плоскостей $ABC,\;A_1B_1C_1$ . (Частный случай, когда одна из сторон треугольника $ABC$ параллельна линии пересечения плоскостей $l$ , можно рассмотреть отдельно (самостоятельно)).

Проекция треугольника $ABM$ – треугольник $A_1B_1M_1$ . Причем $AM=A_1M_1$ .

Пусть $BH$ – перпендикуляр к $l$ . Тогда по т. о трех перпендикулярах и $B_1H$ – перпендикуляр к $l$ . Стало быть, $\angle BHB_1=\alpha$ – угол между плоскостями треугольников (проецируемого и проекции).

Пусть $T$ – точка пересечения $BH$ и $AM$ , $T_1$ – проекция т. $T$ на плоскость $A_1B_1C_1$ . Очевидно, $BT$ – высота треугольника $ABM$ ( $B_1T_1$ – высота треугольника $A_1B_1M_1$ ).

Из треугольника $BHB_1$

$cos\alpha =\frac{B_1H}{BH}$

Но и

$\frac{HT_1}{HT}=cos\alpha$

Тогда $BT=BH-HT=\frac{1}{cos\alpha }(BH_1-HT_1)=\frac{B_1T_1}{cos\alpha}.$

Имеем: $S_{ABM}=\frac{1}{2}BT\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot \frac{B_1T_1}{cos\alpha}\cdot AM=\frac{S_{A_1B_1M_1}}{{cos\alpha}}.$

Аналогичные рассуждения – для пары треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$ :

$S_{AMC}=\frac{1}{2}CR\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot \frac{C_1R_1}{cos\alpha}\cdot AM=\frac{S_{A_1M_1C_1}}{{cos\alpha}}$

(где $CR$ – высота треугольника $ACM$ , $C_1R_1$ – ее проекция)

Итак, суммируя площади треугольников $ABM,\;ACM$ и $A_1B_1M_1,\;A_1C_1M_1$ соответственно, получаем

$S_{ABC}=\frac{S_{A_1B_1C_1}}{cos\alpha}$

или

$S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}\cdot cos\alpha$

Что и требовалось доказать.

Пример.

Ребро куба равно 2 см. Через диагональ основания под углом $45^{\circ}$ к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найти площадь сечения.