Площадь ортогональной проекции многоугольника

2014-02-19

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекций.

Докажем теорему для треугольника. Поскольку многоугольник разбивается на треугольники, сумма площадей которых есть площадь многоугольника, то и для многоугольника теорема будет верна.

Доказательство:

Пусть  треугольник A_1B_1C_1 – проекция  треугольника ABC на проецируемую плоскость.

Докажем, что

S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}\cdot cos\alpha,

где \alpha – угол между плоскостями ABC,\;A_1B_1C_1

Для этого разобьем треугольник  ABC на два треугольника c общей стороной AM, параллельной прямой l пересечения плоскостей ABC,\;A_1B_1C_1. (Частный случай, когда одна из сторон треугольника ABC параллельна линии пересечения плоскостей l, можно рассмотреть отдельно (самостоятельно)).

Проекция треугольника ABM –   треугольник A_1B_1M_1. Причем AM=A_1M_1.

Пусть BH – перпендикуляр к l. Тогда по т. о трех перпендикулярах и B_1H – перпендикуляр к l.  Стало быть, \angle BHB_1=\alphaугол между плоскостями треугольников (проецируемого и проекции).

Пусть T – точка пересечения BH и AM, T_1 – проекция т. T на плоскость A_1B_1C_1. Очевидно, BT – высота треугольника ABM (B_1T_1 – высота треугольника A_1B_1M_1).

Из треугольника BHB_1

cos\alpha =\frac{B_1H}{BH}

Но и

\frac{HT_1}{HT}=cos\alpha

Тогда BT=BH-HT=\frac{1}{cos\alpha }(BH_1-HT_1)=\frac{B_1T_1}{cos\alpha}.

Имеем: S_{ABM}=\frac{1}{2}BT\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot \frac{B_1T_1}{cos\alpha}\cdot AM=\frac{S_{A_1B_1M_1}}{{cos\alpha}}.

Аналогичные рассуждения – для пары треугольников AMC и A_1M_1C_1:

S_{AMC}=\frac{1}{2}CR\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot \frac{C_1R_1}{cos\alpha}\cdot AM=\frac{S_{A_1M_1C_1}}{{cos\alpha}}

(где CR – высота треугольника ACM, C_1R_1 – ее проекция)

Итак, суммируя площади треугольников ABM,\;ACM и A_1B_1M_1,\;A_1C_1M_1 соответственно, получаем

S_{ABC}=\frac{S_{A_1B_1C_1}}{cos\alpha}

или

S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}\cdot cos\alpha

Что и требовалось доказать.

Пример. 

Ребро куба равно 2 см. Через диагональ основания под углом 45^{\circ} к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найти площадь сечения.

Решение:

Пусть плоскость сечения проведена через диагональ BD и пересекает боковое ребро  (CC_1) в точке T.

По вышеуказанной теореме

S_{BDT}=\frac{S_{BCD}}{cos\alpha},

где треугольник BCD – проекция треугольника BTD на плоскость основания, \alpha – угол между плоскостями BCD,\;BTD.

S_{BDT}=\frac{2}{\frac{\sqrt2}{2}}=2\sqrt2.

Ответ: 2\sqrt2.

Применение теоремы можно также посмотреть, например, в этой задаче.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif