Главная › Справочные материалы › Простейшие тригонометрические неравенства. Часть 2

09 Фев 2014

Категория: Справочные материалыТригонометрические выражения, уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические неравенства. Часть 2

Елена Репина 2014-02-09 2015-05-17

Часть 2.

Если вы беретесь за изучение темы «Простейшие тригонометрические неравенства», то должны прежде знать, где находятся оси тангенса и котангенса и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть III).

osi-tg-ctg

Кстати, для сдающих ЕГЭ по математике, – умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Пример 1.

Решить неравенство: $tgx<1.$

Решение:

Отмечаем на оси тангенсов 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 – ниже 1.

Снимок экрана 2014-02-08 в 21.39.06

Далее, отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1. Для этого мы ~~мысленно~~ соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг. Вот эти-то точки круга нас и интересуют! Они выстраиваются в две дуги (точнее в две серии дуг). Значения тангенса в них – меньше 1.

Заметим, кстати, что дуга $(\frac{3\pi}{2}+2\pi n;\frac{9\pi}{4}+2\pi n),\;n\in Z$ повторяет дугу $(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n)$ равно через пол круга, то есть через $\pi$ (период функции $y=tgx$ – это $\pi$ ).

Все подходящие значения $x$ можно записать в виде следующего двойного неравенства:

$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z$

или так

$x\in (\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{5\pi}{4}+\pi n),\;n\in Z.$

Пример 2.

Решить неравенство: $tgx\geq -\sqrt3.$

Решение:

Отмечаем на оси тангенсов $-\sqrt3$ . Указываем все значения тангенса, большие или равные $-\sqrt3$ – выше $-\sqrt3$ (включая саму точку).

«Транслируем» отмеченные точки оси тангенсов на тригонометрический круг.

Все подходящие значения $x$ можно записать в виде следующего двойного неравенства:

$\frac{2\pi}{3}+\pi n\leq x<\frac{3\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z$

или такого (разницы – никакой):

$-\frac{\pi}{3}+\pi n\leq x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z.$

Пример 3.

Решить неравенство: $ctgx\geq \frac{\sqrt3}{3}.$

Решение:

Отмечаем на оси котангенсов $\frac{\sqrt3}{3}$ . Указываем все значения котангенса, большие или равные $\frac{\sqrt3}{3}$ – правее $\frac{\sqrt3}{3}$ (включая саму точку).

«Транслируем» отмеченные точки оси котангенсов на тригонометрический круг:

Все подходящие значения $x$ можно записать в виде следующего двойного неравенства:

$\pi n<x\leq \frac{\pi}{3}+\pi n,\;n\in Z.$

Вы обратили внимание, решая тригонометрическое неравенство с тангенсом, – мы не включаем в ответ точки $\pm \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\in Z$ (значение тангенса в этих точках не определено)?

А, решая тригонометрическое неравенство с котангенсом, – мы не включаем в ответ точки $\pi+\pi n,\;\in Z$ (значение котангенса в этих точках не определено).

Пример 4.

Решить неравенство: $ctgx\leq 2.$

Решение:

лор

$arcctg2+\pi n\leq x<\pi +\pi n,\;n\in Z.$

Проверьте себя

Помните, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. (См., например, задание 2).

1. Решить неравенство: $tgx\geq -1.$

Ответ: + показать

2. Решить неравенство: $ctgx\leq -\frac{1}{\sqrt3}.$

Ответ: + показать

3. Решить неравенство: $tgx< 3}.$

Ответ: + показать

Если у вас есть вопросы, – пожалуйста, – пишите в комментариях!

стрелка вниз

Автор: egeMax | комментариев 47

Печать страницы

комментариев 47

← Предыдущие комментарии

Ирина

2016-02-03 в 14:32

Помогите решить неравенство модуль !2sinх-1!<=1

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-02-03 в 20:44
  
  $-1\leq 2sinx-1\leq 1;$
  $0\leq 2sinx\leq 2;$
  $0\leq sinx\leq 1;$
  …
  
  [ Ответить ]
  - Ирина
    
    2016-02-05 в 00:12
    
    Спасибо!
    
    [ Ответить ]
Гость

2016-02-03 в 18:30

Как решить? помогите пожалуйста.
1)sin(п/3+x/2)>(под корнем)3/2
2)cos(п/3-3x)<-1/2
3)tg(5x/4-п/6)(больше или равно) -(под корнем)3/3

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-02-03 в 20:45
  
  Гость, что так мало заданий-то? Давайте уж тогда всю домашку/контрольную…
  
  [ Ответить ]
Андрей

2016-04-23 в 13:00

А как решать двойные тригонометрические неравенства?
Например: 1/3≤sinx<1/2

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-23 в 22:29
  
  Сложно кратко объяснить. Рисуйте тригонометрический круг. Отмечайте на оси синусов зону [1/3;1/2]. Транслируйте ее на окружность. Должны увидеть две дуги… Начните…
  
  [ Ответить ]
Андрей

2016-04-23 в 22:57

а есть ли какие-то нюансы или решать также как и обычные,а потом просто ответы соединить?или как?Можете,пожалуйста,объяснить?Спасибо!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-24 в 01:08
  
  У вас должно получиться $x\in [arcsin \frac{1}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n]\cup$
  $\cup [\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\pi -arcsin \frac{1}{3}+2\pi n],n \in Z.$
  
  [ Ответить ]
  - Андрей
    
    2016-04-24 в 09:54
    
    В книге тоже такой ответ как у вас,но я не могу понять почему у меня получается (-7π/6+2πn;arcsin1/3+2πn]U(π/6+2πn;π-arcsin1/3+2πn]
    Также по поводу такого примера: -корень из 3/2<cosx≤-1/2
    у меня получается (-5π/6+2πn;2π/3+2πn]U(5π/6+2πn;4π/3+2πn],а в книге дают ответ (-5π/6+2πn;-2π/3+2πn]U[2π/3+2πn;5π/6+2πn)
    Можете помочь в чем ошибка у меня?Я подозреваю,что она общая у этих двух примеров,но не могу понять какая…
    Спасибо!
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-04-24 в 13:54
      
      Вы почему-то берете с точностью до наоборот зону… в первом случае.
      У нас подходящие дуги располагаются в первой и второй четвертях! У вас же совсем нет.
      Во втором случае также ерунда полная. Сделайте картинку, прикрепите к сообщению, – посмотрю.
      
      [ Ответить ]
      - Андрей
        
        2016-04-24 в 15:35
        
        https://cloud.mail.ru/public/CVgX/aSdCexSTV
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2016-04-24 в 16:48
        
        Зачем разделяете? На оси синусов сразу указываем отрезок [1/3;1/2]. Выходим на круг.
        https://yadi.sk/i/UHnsXeD8rF9b6
        
        [ Ответить ]
      - Андрей
        
        2016-04-24 в 17:32
        
        А не нужно учитывать,что sinx МЕНЬШЕ 1/2 и идти по часовой стрелке?Поєтому я и беру -пи-пи/6=-7пи/6
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2016-04-24 в 21:17
        
        Не нужно идти по часовой. Увеличение аргумента идет против часовой!!! Вы же нигде не встретите запись вроде этой: отрезок [3;1]. Верно? Правый конец отрезка (промежутка) больше левого! Только против часовой.
        
        [ Ответить ]
Андрей

2016-04-24 в 21:47

Я просто не могу понять почему если решать отдельно sinx<1/2,то ответ будет (-7пи/6+2пиn;пи/6+2пиn)(такой же и в книге указан),но в этом примере вместо -7пи/6 мы берем 5пи/6?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-24 в 22:09
  
  Ответ к $sinx<1/2$ можно записать и так:
  $(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{13\pi}{6}+2\pi n), n\in Z.$ Подумайте над этим! ;)
  
  [ Ответить ]
Андрей

2016-04-24 в 22:20

Но тогда почему решением этого примера мы берем пи/6 и 5пи/6,а не 5пи/5 и 13пи/6?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-25 в 12:41
  
  Можете ответ написать и так: $[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;-\pi-arcsin1/3+2\pi n]\cup$
  $\cup[arcsin1/3+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n}n\in Z].$
  Или так: $[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\pi-arcsin1/3+2\pi n]\cup$
  $\cup [2\pi+arcsin1/3+2\pi n;\frac{13\pi}{6}+2\pi n],n\in Z.$
  
  [ Ответить ]
Владимир

2016-11-26 в 22:16

Здравствуйте!
Простое на вид неравенство ставит меня в тупик:

sin(x+pi/4)^2>1/4 =====>

sin(x+pi/4)>1/2
sin(x+pi/4)

-pi/12+2*pi*k<x<7*pi/12+2*pi*k

11*pi/12+2*pi*k<x<pi+7*pi/12+2*pi*k

Как видите, часть корней утеряны, и мне не ясно, почему.
Буду благодарен за любую помощь!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-11-26 в 22:21
  
  У вас ошибка во второй строке! Переход неверен. Неравенство t^2>0,25 эквивалентно совокупности неравенств: t>0,5; t<-0,5 Решаем неравенство подобное через разность квадратов! (t-0,5)(t+0,5)>0.
  
  [ Ответить ]
  - Владимир
    
    2016-11-26 в 23:47
    
    Я случайно не дописал вторую строку совокупности sin(x+pi/4)<-1/2
    Вторая строка, с 11pi/4, соответствует второй строке совокупности:
    sin(x+pi/4) 7pi/6+2pi*k<x+pi/4 11pi/12+2*pi*k<x<pi+7pi/12+2pi*k
    
    [ Ответить ]
    - Владимир
      
      2016-11-26 в 23:49
      
      Видимо, последовательность из знака неравенства “<" и "-" сайт почему-то затирает вместе со следующим за ними текстом
      
      [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-11-26 в 23:57
      
      Решая неравенство $sin(x+\frac{\pi}{4})>0,5$ , получаем:
      $\frac{\pi}{6}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{5\pi}{6}+2\pi n;$
      $\frac{-\pi}{12}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{12}+2\pi n;$
      Решая неравенство $sin(x+\frac{\pi}{4})<-0,5$ , получаем:
      $\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{11\pi}{6}+2\pi n;$
      $\frac{11\pi}{12}+2\pi n<x<\frac{19\pi}{12}+2\pi n.$
      
      [ Ответить ]
10класс

2017-01-15 в 14:12

Спасибо большое вам! Вы Очень помогли. В школе эту тему не понял, а здесь буквально за 15 минут

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-01-15 в 14:37
  
  Пожалуйста!
  
  [ Ответить ]
Екатерина

2021-11-20 в 13:42

Помогите,пожалуйста,решить tg(1/2x-5/6п)>-1

[ Ответить ]