Простейшие тригонометрические неравенства. Часть 2

2015-05-17

Часть 2.

Начало здесь.

Если вы беретесь за изучение темы «Простейшие тригонометрические неравенства», то должны прежде знать, где находятся оси тангенса и котангенса и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть III).

Кстати, для сдающих ЕГЭ по математике, –   умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Примеры решения простейших тригонометрических  неравенств

Пример 1. 

Решить неравенство: tgx<1.

Решение: 

Отмечаем на оси тангенсов 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 – ниже 1.

Далее, отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1.  Для этого мы мысленно соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг. Вот эти-то точки круга нас и интересуют! Они выстраиваются в две дуги (точнее в две серии дуг). Значения тангенса в них – меньше 1.

Заметим, кстати, что дуга (\frac{3\pi}{2}+2\pi n;\frac{9\pi}{4}+2\pi n),\;n\in Z повторяет дугу (\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n) равно через пол круга, то есть через \pi (период функции y=tgx – это \pi).

Все подходящие значения x можно записать в виде следующего двойного неравенства:

\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z

или так

x\in (\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{5\pi}{4}+\pi n),\;n\in Z.

Пример 2. 

Решить неравенство: tgx\geq -\sqrt3.

Решение: 

Отмечаем на оси тангенсов -\sqrt3. Указываем все значения тангенса, большие или равные -\sqrt3 – выше  -\sqrt3 (включая саму точку).

«Транслируем» отмеченные точки оси тангенсов  на тригонометрический круг.

 

Все подходящие значения x можно записать в виде следующего двойного неравенства:

\frac{2\pi}{3}+\pi n\leq x<\frac{3\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z

или такого (разницы – никакой):

-\frac{\pi}{3}+\pi n\leq x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z.

 

Пример 3.

Решить неравенство: ctgx\geq \frac{\sqrt3}{3}.

Решение: 

Отмечаем на оси котангенсов \frac{\sqrt3}{3}. Указываем все значения котангенса, большие или равные \frac{\sqrt3}{3} – правее \frac{\sqrt3}{3} (включая саму точку).

«Транслируем» отмеченные точки оси котангенсов  на тригонометрический круг:

Все подходящие значения x можно записать в виде следующего двойного неравенства:

\pi n<x\leq  \frac{\pi}{3}+\pi n,\;n\in Z.

Вы обратили внимание, решая тригонометрическое неравенство с тангенсом,  – мы не включаем в ответ точки \pm \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\in Z (значение тангенса в этих точках не определено)?

А, решая тригонометрическое неравенство с котангенсом,  – мы не включаем в ответ точки \pi+\pi n,\;\in Z (значение котангенса в этих точках не определено).

Пример 4.

Решить неравенство: ctgx\leq 2.

Решение: 

arcctg2+\pi n\leq x<\pi +\pi n,\;n\in Z.

Проверьте себя

Помните,  решения (ответы)  к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. (См., например,  задание 2).

 1. Решить неравенство: tgx\geq -1.

Ответ: + показать

2. Решить неравенство: ctgx\leq -\frac{1}{\sqrt3}.

Ответ: + показать

3. Решить неравенство: tgx< 3}.

Ответ: + показать

Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – пишите в комментариях!

Печать страницы
Комментариев: 44
  1. Людмила

    Елена Юрьевна, большое спасибо за Ваш материал! Понятное и очень хорошее объяснение! Сколько времени и труда Вы затратили на это!Преклоняюсь перед Вами!
    Вот только как бы исправить в примере 4 на arcctg2?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Людмила, спасибо большое! ;) Исправила… Вечно у меня с этими арккотангенсами то выпадает одна буква «с», а то сразу 3 могу написать…

      [ Ответить ]
  2. Людмила

    Спасибо! Вы -профи и в математике, и компьютерном деле!
    Удачи Вам! Побольше хороших учеников! Огромного счастья!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Людмила, спасибо на добром слове! (посмеялась, конечно, маленько, – мне-то как раз не хватает знаний для осуществления многих задумок… ну да ладно…) А хорошие ученики – да, это счастье! Чего и вам желаю!

      [ Ответить ]
  3. Куаныш

    а в каком промежутке тангенс 0 и 180
    и котангенс -90 и 90?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Неясен вопрос… Вы имеете ввиду область значений арктангенса и арккотангенса?
      arctga\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}). Для арккотангенса – (0;\pi). Вам сюда.

      [ Ответить ]
  4. Мачо Ботанский

    Елена, Вы лапочка :3
    Дай бог Вам здоровьечка!

    [ Ответить ]
  5. irlina

    Огромное спасибо.Забыла школьный курс(45)лет как закончила школу.Вспомнила и оъяснила внуку своей подруги.Он первый в классе по этой теме.Теперь нужно заставить самого изучать материал самостоятельною Очень понравилосью Начитка тем замечательная.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ;)

      [ Ответить ]
  6. Аннушка

    помогите решить неравенство тригонометрическое: sinx>-sqrt2/2; sinx<1/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      sinx>-\frac{\sqrt2}{2};
      -\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n, n\in Z.
      Решение второго неравенства – смотри здесь (20-й пост сверху)

      [ Ответить ]
  7. Лилия

    Спасибо Вам огромное! Спасли ученице жизнь, в конце года!

    [ Ответить ]
  8. Сергей

    Прошу прощения, я только только взялся за тригометрию, и не все ясно. Подскажите, пожалуйста, в первом Вашем примере, на круге указана 3/4pi на том месте, где обычно стоит 5/4pi. Мы его условно обозначили, взяв отсчет от pi/2 или это отрицательное значение? запутался :(

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сергей, спасибо! Это была незамеченная опечатка. Исправлено.

      [ Ответить ]
  9. Bibigul

    tg2x-1<0

    [ Ответить ]
  10. Аня

    Можете помочь с системой неравенств?
    sin x≤(sqrt3)/2
    tg^2 x + ctg^2 x >2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1)x\in [\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{7\pi}{3}+2\pi n],n\in Z.
      2) tg^2x+\frac{1}{tg^2x}-2>0;
      \frac{tg^4x-2tg^2x+1}{tg^2x}>0;
      \frac{(tg^2x-1)^2}{tg^2x}>0;
      tgx\neq \pm 1 и tgx\neq 0;
      x\neq \pm\frac{\pi}{4}+\pi n и x\neq \frac{\pi n}{2}, n\in Z;
      x\neq \frac{\pi n}{4}, n\in Z.

      [ Ответить ]
      • Аня

        Спасибо большое

        [ Ответить ]
  11. Аня

    Помогите, пожалуйста
    sin2x<-1/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      -\frac{5\pi}{6}+2\pi n<2x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z;
      ...<x<...

      [ Ответить ]
  12. Ирина

    Помогите решить неравенство модуль !2sinх-1!<=1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      -1\leq 2sinx-1\leq 1;
      0\leq 2sinx\leq 2;
      0\leq sinx\leq 1;

      [ Ответить ]
      • Ирина

        Спасибо!

        [ Ответить ]
  13. Гость

    Как решить? помогите пожалуйста.
    1)sin(п/3+x/2)>(под корнем)3/2
    2)cos(п/3-3x)<-1/2
    3)tg(5x/4-п/6)(больше или равно) -(под корнем)3/3

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Гость, что так мало заданий-то? Давайте уж тогда всю домашку/контрольную…

      [ Ответить ]
  14. Андрей

    А как решать двойные тригонометрические неравенства?
    Например: 1/3≤sinx<1/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сложно кратко объяснить. Рисуйте тригонометрический круг. Отмечайте на оси синусов зону [1/3;1/2]. Транслируйте ее на окружность. Должны увидеть две дуги… Начните…

      [ Ответить ]
  15. Андрей

    а есть ли какие-то нюансы или решать также как и обычные,а потом просто ответы соединить?или как?Можете,пожалуйста,объяснить?Спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      У вас должно получиться x\in [arcsin \frac{1}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n]\cup
      \cup [\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\pi -arcsin \frac{1}{3}+2\pi n],n \in Z.

      [ Ответить ]
      • Андрей

        В книге тоже такой ответ как у вас,но я не могу понять почему у меня получается (-7π/6+2πn;arcsin1/3+2πn]U(π/6+2πn;π-arcsin1/3+2πn]
        Также по поводу такого примера: -корень из 3/2<cosx≤-1/2
        у меня получается (-5π/6+2πn;2π/3+2πn]U(5π/6+2πn;4π/3+2πn],а в книге дают ответ (-5π/6+2πn;-2π/3+2πn]U[2π/3+2πn;5π/6+2πn)
        Можете помочь в чем ошибка у меня?Я подозреваю,что она общая у этих двух примеров,но не могу понять какая…
        Спасибо!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Вы почему-то берете с точностью до наоборот зону… в первом случае.
          У нас подходящие дуги располагаются в первой и второй четвертях! У вас же совсем нет.
          Во втором случае также ерунда полная. Сделайте картинку, прикрепите к сообщению, – посмотрю.

          [ Ответить ]
          • Андрей

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Зачем разделяете? На оси синусов сразу указываем отрезок [1/3;1/2]. Выходим на круг.
            https://yadi.sk/i/UHnsXeD8rF9b6

            [ Ответить ]
          • Андрей

            А не нужно учитывать,что sinx МЕНЬШЕ 1/2 и идти по часовой стрелке?Поєтому я и беру -пи-пи/6=-7пи/6

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Не нужно идти по часовой. Увеличение аргумента идет против часовой!!! Вы же нигде не встретите запись вроде этой: отрезок [3;1]. Верно? Правый конец отрезка (промежутка) больше левого! Только против часовой.

            [ Ответить ]
  16. Андрей

    Я просто не могу понять почему если решать отдельно sinx<1/2,то ответ будет (-7пи/6+2пиn;пи/6+2пиn)(такой же и в книге указан),но в этом примере вместо -7пи/6 мы берем 5пи/6?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ответ к sinx<1/2 можно записать и так:
      (\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{13\pi}{6}+2\pi n), n\in Z. Подумайте над этим! ;)

      [ Ответить ]
  17. Андрей

    Но тогда почему решением этого примера мы берем пи/6 и 5пи/6,а не 5пи/5 и 13пи/6?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Можете ответ написать и так: [-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;-\pi-arcsin1/3+2\pi n]\cup
      \cup[arcsin1/3+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n}n\in Z].
      Или так: [\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\pi-arcsin1/3+2\pi n]\cup
      \cup [2\pi+arcsin1/3+2\pi n;\frac{13\pi}{6}+2\pi n],n\in Z.

      [ Ответить ]
  18. Владимир

    Здравствуйте!
    Простое на вид неравенство ставит меня в тупик:

    sin(x+pi/4)^2>1/4 =====>

    sin(x+pi/4)>1/2
    sin(x+pi/4)

    -pi/12+2*pi*k<x<7*pi/12+2*pi*k

    11*pi/12+2*pi*k<x<pi+7*pi/12+2*pi*k

    Как видите, часть корней утеряны, и мне не ясно, почему.
    Буду благодарен за любую помощь!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      У вас ошибка во второй строке! Переход неверен. Неравенство t^2>0,25 эквивалентно совокупности неравенств: t>0,5; t< -0,5 Решаем неравенство подобное через разность квадратов! (t-0,5)(t+0,5)>0.

      [ Ответить ]
      • Владимир

        Я случайно не дописал вторую строку совокупности sin(x+pi/4)<-1/2
        Вторая строка, с 11pi/4, соответствует второй строке совокупности:
        sin(x+pi/4) 7pi/6+2pi*k<x+pi/4 11pi/12+2*pi*k<x<pi+7pi/12+2pi*k

        [ Ответить ]
        • Владимир

          Видимо, последовательность из знака неравенства “<" и "-" сайт почему-то затирает вместе со следующим за ними текстом

          [ Ответить ]
        • egeMax

          Решая неравенство sin(x+\frac{\pi}{4})>0,5, получаем:
          \frac{\pi}{6}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{5\pi}{6}+2\pi n;
          \frac{-\pi}{12}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{12}+2\pi n;
          Решая неравенство sin(x+\frac{\pi}{4})<-0,5, получаем:
          \frac{7\pi}{6}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{11\pi}{6}+2\pi n;
          \frac{11\pi}{12}+2\pi n<x<\frac{19\pi}{12}+2\pi n.

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif