Часть 2
Начало здесь.
Если вы беретесь за изучение темы «Простейшие тригонометрические неравенства», то должны прежде знать, где находятся оси тангенса и котангенса и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть III).
Кстати, для сдающих ЕГЭ по математике, – умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
Пример 1
Решить неравенство: $tgx<1.$
Решение: + показать
Отмечаем на оси тангенсов 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 – ниже 1.
Далее, отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1. Для этого мы мысленно соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг. Вот эти-то точки круга нас и интересуют! Они выстраиваются в две дуги (точнее в две серии дуг). Значения тангенса в них – меньше 1.
Заметим, кстати, что дуга $(\frac{3\pi}{2}+2\pi n;\frac{9\pi}{4}+2\pi n),\;n\in Z$ повторяет дугу $(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n)$ равно через пол круга, то есть через $\pi$ (период функции $y=tgx$ – это $\pi$).
Все подходящие значения $x$ можно записать в виде следующего двойного неравенства:
$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z$
или так
$x\in (\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{5\pi}{4}+\pi n),\;n\in Z.$
Пример 2
Решить неравенство: $tgx\geq -\sqrt3.$
Решение: + показать
Отмечаем на оси тангенсов $-\sqrt3$. Указываем все значения тангенса, большие или равные $-\sqrt3$ – выше $-\sqrt3$ (включая саму точку).
«Транслируем» отмеченные точки оси тангенсов на тригонометрический круг.
Все подходящие значения $x$ можно записать в виде следующего двойного неравенства:
$\frac{2\pi}{3}+\pi n\leq x<\frac{3\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z$
или такого (разницы – никакой):
$-\frac{\pi}{3}+\pi n\leq x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z.$
Пример 3
Решить неравенство: $ctgx\geq \frac{\sqrt3}{3}.$
Решение: + показать
Отмечаем на оси котангенсов $\frac{\sqrt3}{3}$. Указываем все значения котангенса, большие или равные $\frac{\sqrt3}{3}$ – правее $\frac{\sqrt3}{3}$ (включая саму точку).
«Транслируем» отмеченные точки оси котангенсов на тригонометрический круг:
Все подходящие значения $x$ можно записать в виде следующего двойного неравенства:
$\pi n<x\leq \frac{\pi}{3}+\pi n,\;n\in Z.$
Вы обратили внимание, решая тригонометрическое неравенство с тангенсом, – мы не включаем в ответ точки $\pm \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\in Z$ (значение тангенса в этих точках не определено)?
А, решая тригонометрическое неравенство с котангенсом, – мы не включаем в ответ точки $ \pi+\pi n,\;\in Z$ (значение котангенса в этих точках не определено).
Пример 4
Решить неравенство: $ctgx\leq 2.$
Решение: + показать
$arcctg2+\pi n\leq x<\pi +\pi n,\;n\in Z.$
Проверьте себя
Помните, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. (См., например, задание 2).
1. Решить неравенство: $tgx\geq -1.$
Ответ: + показать
$[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n),\; n\in Z$
2. Решить неравенство: $ctgx\leq -\frac{1}{\sqrt3}.$
Ответ: + показать
$\frac{2\pi}{3}+\pi n;\pi+\pi n),\; n\in Z$
3. Решить неравенство: $tgx< 3.$
Ответ: + показать
$(-\frac{\pi}{2}+\pi n;arctg3+\pi n),\; n\in Z$
Если у вас есть вопросы, – пожалуйста, – пишите в комментариях!
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Помогите решить неравенство модуль !2sinх-1!<=1
[latexpage]$-1\leq 2sinx-1\leq 1;$
$0\leq 2sinx\leq 2;$
$0\leq sinx\leq 1;$
…
Спасибо!
Как решить? помогите пожалуйста.
1)sin(п/3+x/2)>(под корнем)3/2
2)cos(п/3-3x)<-1/2
3)tg(5x/4-п/6)(больше или равно) -(под корнем)3/3
Гость, что так мало заданий-то? Давайте уж тогда всю домашку/контрольную…
А как решать двойные тригонометрические неравенства?
Например: 1/3≤sinx<1/2
Сложно кратко объяснить. Рисуйте тригонометрический круг. Отмечайте на оси синусов зону [1/3;1/2]. Транслируйте ее на окружность. Должны увидеть две дуги… Начните…
а есть ли какие-то нюансы или решать также как и обычные,а потом просто ответы соединить?или как?Можете,пожалуйста,объяснить?Спасибо!
У вас должно получиться [latexpage]$x\in [arcsin \frac{1}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n]\cup$
$\cup [\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\pi -arcsin \frac{1}{3}+2\pi n],n \in Z.$
В книге тоже такой ответ как у вас,но я не могу понять почему у меня получается (-7π/6+2πn;arcsin1/3+2πn]U(π/6+2πn;π-arcsin1/3+2πn]
Также по поводу такого примера: -корень из 3/2<cosx≤-1/2
у меня получается (-5π/6+2πn;2π/3+2πn]U(5π/6+2πn;4π/3+2πn],а в книге дают ответ (-5π/6+2πn;-2π/3+2πn]U[2π/3+2πn;5π/6+2πn)
Можете помочь в чем ошибка у меня?Я подозреваю,что она общая у этих двух примеров,но не могу понять какая…
Спасибо!
Вы почему-то берете с точностью до наоборот зону… в первом случае.
У нас подходящие дуги располагаются в первой и второй четвертях! У вас же совсем нет.
Во втором случае также ерунда полная. Сделайте картинку, прикрепите к сообщению, – посмотрю.
https://cloud.mail.ru/public/CVgX/aSdCexSTV
Зачем разделяете? На оси синусов сразу указываем отрезок [1/3;1/2]. Выходим на круг.
https://yadi.sk/i/UHnsXeD8rF9b6
А не нужно учитывать,что sinx МЕНЬШЕ 1/2 и идти по часовой стрелке?Поєтому я и беру -пи-пи/6=-7пи/6
Не нужно идти по часовой. Увеличение аргумента идет против часовой!!! Вы же нигде не встретите запись вроде этой: отрезок [3;1]. Верно? Правый конец отрезка (промежутка) больше левого! Только против часовой.
Я просто не могу понять почему если решать отдельно sinx<1/2,то ответ будет (-7пи/6+2пиn;пи/6+2пиn)(такой же и в книге указан),но в этом примере вместо -7пи/6 мы берем 5пи/6?
Ответ к [latexpage]$sinx<1/2$ можно записать и так:
$(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{13\pi}{6}+2\pi n), n\in Z.$ Подумайте над этим! ;)
Но тогда почему решением этого примера мы берем пи/6 и 5пи/6,а не 5пи/5 и 13пи/6?
Можете ответ написать и так: [latexpage]$[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;-\pi-arcsin1/3+2\pi n]\cup $
$\cup[arcsin1/3+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n}n\in Z].$
Или так: $[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\pi-arcsin1/3+2\pi n]\cup$
$\cup [2\pi+arcsin1/3+2\pi n;\frac{13\pi}{6}+2\pi n],n\in Z.$
Здравствуйте!
Простое на вид неравенство ставит меня в тупик:
sin(x+pi/4)^2>1/4 =====>
sin(x+pi/4)>1/2
sin(x+pi/4)
-pi/12+2*pi*k<x<7*pi/12+2*pi*k
11*pi/12+2*pi*k<x<pi+7*pi/12+2*pi*k
Как видите, часть корней утеряны, и мне не ясно, почему.
Буду благодарен за любую помощь!
У вас ошибка во второй строке! Переход неверен. Неравенство t^2>0,25 эквивалентно совокупности неравенств: t>0,5; t<-0,5 Решаем неравенство подобное через разность квадратов! (t-0,5)(t+0,5)>0.
Я случайно не дописал вторую строку совокупности sin(x+pi/4)<-1/2
Вторая строка, с 11pi/4, соответствует второй строке совокупности:
sin(x+pi/4) 7pi/6+2pi*k<x+pi/4 11pi/12+2*pi*k<x<pi+7pi/12+2pi*k
Видимо, последовательность из знака неравенства “<" и "-" сайт почему-то затирает вместе со следующим за ними текстом
Решая неравенство [latexpage]$sin(x+\frac{\pi}{4})>0,5$, получаем:
$\frac{\pi}{6}+2\pi n
Спасибо большое вам! Вы Очень помогли. В школе эту тему не понял, а здесь буквально за 15 минут
Пожалуйста!
Помогите,пожалуйста,решить tg(1/2x-5/6п)>-1