Задание №15 Т/Р №102 А. Ларина

Дано уравнение

$(2cos^2x-3cosx-2)log_3(tgx)=0.$

а) Решите уравнение;

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi]$

Решение: 

а)

$(2cos^2x-3cosx-2)log_3(tgx)=0;$

$2(cosx-2)(cosx+\frac{1}{2})log_3(tgx)=0;$

$(cosx+\frac{1}{2})log_3(tgx)=0;$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}cosx=-\frac{1}{2},\\log_3(tgx)=0;\end{array}\right.\\tgx>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}cosx=-\frac{1}{2},\\tgx=1;\end{array}\right.\\tgx>0;&\end{cases}$

$x=\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$  или $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z.$

б) Отбор корней уравнения из отрезка $[\frac{\pi}{2};2\pi]$ производим при помощи тригонометрического круга:

Ответ: 

а) $\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$, $-\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z;$

б) $\frac{5\pi}{4}; \frac{4\pi}{3}.$