Часть 1.
(Часть 2 см. здесь)
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида
,
,
,
,
где – один из знаков
,
.
Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).
Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.
Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.
Пример 1.
Решить неравенство:
Решение:
Отмечаем на оси косинусов
Все значения , меньшие
– левее точки
на оси косинусов.
Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше
Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки до
.
Обратите внимание, многие, назвав первую точку вместо второй точки
указывают точку
, что неверно!
Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения
Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».
Не забываем «накидывать» счетчик
Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:
Пример 2.
Решить неравенство:
Решение:
Отмечаем на оси косинусов
Все значения , большие или равные
– правее точки
, включая саму точку.
Тогда выделенные красной дугой аргументы отвечают тому условию, что
.
Пример 3.
Решить неравенство:
Решение:
Отмечаем на оси синусов
Все значения , большие или равные
– выше точки
, включая саму точку.
«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:
Пример 4.
Решить неравенство:
Решение:
Кратко:
или все , кроме
Пример 5.
Решить неравенство:
Решение:
Неравенство равносильно уравнению
, так как область значений функции
–
Пример 6.
Решить неравенство:
Решение:
Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.
Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.
Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать
Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств
Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так:
1. Решить неравенство:
Ответ: + показать
2. Решить неравенство:
Ответ: + показать
3. Решить неравенство:
Ответ: + показать
4. Решить неравенство:
Ответ: + показать
5. Решить неравенство:
Ответ: + показать
Часть 2
Если у вас есть вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!
Помогите решить пожалуйста:
sin x≥-√2
Неравенство верно при всех x.
Ясно,спасибо
Здравствуйте можете помочь решить их 10cos^2x+3cosx-1≥0 и
6sin^2x-sinx-1≤0
10(2cos^2x-1)+3cosx-1>=0;
20cos^2x+3cosx-11>=0;
А дальше дискриминант кривой. Верно условие-то переписано?
10cos2(тут 2 квадрат)x+3 cosx-1≥0
Аа…
10cos^2x+3cosx-1>=0;
10(cosx+0,5)(cosx-0,2)>=0;
Cosx<=-0,5 или cosx>=0,2;
X in [2pi/3+2pin;4pi/3+2pin] или x in [-arccos0,2+2pin;arccos0,2+2pin], n in Z.
Второе неравенство – аналогично.
спасибо
Помогите пожалуйста, срочно
Cos(5x+п/4)>0
-п/2+2пn<5х+п/4<п/2+2пn, n in Z Ну и далее...
Хотелось бы еще примеры на функцию тангес
CosX1.1
2CosX+√2≥2
Помогите пожалуйста
Огромное спасибо за понятное объяснение! Подскажите пожалуйста почему чтобы определить точки на единичной окружности иногда от пи а иногда от 2пи отнимаем значение угла x например. x=arcsin (a) Cпасибо!
Помогите пожалуйста решить sin x^0??
Sin 1 ???
Помогите пожалуйста решить 2sin^2x-7sinx+3>(больше или равно) 0
ctg2.8<0 sin2.80 tg2.8>0 sin 208>1 помогите с обяснением плиз