Главная › Справочные материалы › Простейшие тригонометрические неравенства

08 Фев 2014

Категория: Справочные материалыТригонометрические выражения, уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические неравенства

Елена Репина 2014-02-08 2015-04-20

Часть 1.

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

$sinx\vee a$ ,

$cosx\vee a$ ,

$tgx\vee a$ ,

$ctgx\vee a$ ,

где $\vee$ – один из знаков $<,\;>,\;\leq,\;\geq$ , $a\in R$ .

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.

Решить неравенство: $cosx<\frac{1}{2}.$

Решение:

Отмечаем на оси косинусов $\frac{1}{2}.$

Все значения $cosx$ , меньшие $\frac{1}{2},$ – левее точки $\frac{1}{2}$ на оси косинусов.

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше $\frac{1}{2}.$

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$ .

Обратите внимание, многие, назвав первую точку $\frac{\pi}{3},$ вместо второй точки $\frac{5\pi}{3}$ указывают точку $-\frac{\pi}{3}$ , что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения $x:$

$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z.$

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик $2\pi n,\;n\in Z.$

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

тригонометрические неравенства

Пример 2.

Решить неравенство: $cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.$

Решение:

Отмечаем на оси косинусов $-\frac{\sqrt2}{2}.$

Все значения $cosx$ , большие или равные $-\frac{\sqrt2}{2}$ – правее точки $-\frac{\sqrt2}{2}$ , включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы $x$ отвечают тому условию, что $cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}$ .

$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$

Пример 3.

Решить неравенство: $sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.$

Решение:

Отмечаем на оси синусов $-\frac{\sqrt3}{2}.$

Все значения $sinx$ , большие или равные $-\frac{\sqrt3}{2},$ – выше точки $-\frac{\sqrt3}{2}$ , включая саму точку.

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z$

Пример 4.

Решить неравенство: $sinx<1.$

Решение:

Кратко:

$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z$

или все $x$ , кроме $\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$

Пример 5.

Решить неравенство: $sinx\geq 1.$

Решение:

Неравенство $sinx\geq 1$ равносильно уравнению $sinx=1$ , так как область значений функции $y=sinx$ – $[-1;1].$

78н

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$

Пример 6.

Решить неравенство: $sinx<\frac{1}{3}.$

Решение:

Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

$\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n<x<arcsin\frac{1}{3}+2\pi+2\pi n,\;n\in Z$

Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать

Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: $\frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$

1. Решить неравенство: $sinx<-\frac{1}{2}.$

Ответ: + показать

2. Решить неравенство: $cosx>-\frac{1}{2}.$

Ответ: + показать

3. Решить неравенство: $sinx\geq -1.$

Ответ: + показать

4. Решить неравенство: $sinx\geq 0.$

Ответ: + показать

5. Решить неравенство: $cosx\leq 0,2.$

Ответ: + показать

Часть 2
Если у вас есть вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!

стрелка вниз

Автор: egeMax | комментариев 179

Печать страницы

комментариев 179

← Предыдущие комментарии

Олег

2017-05-17 в 20:41

Помогите решить пожалуйста:
sin x≥-√2

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-05-17 в 20:42
  
  Неравенство верно при всех x.
  
  [ Ответить ]
  - Олег
    
    2017-05-17 в 20:51
    
    Ясно,спасибо
    
    [ Ответить ]
Алия

2017-05-29 в 12:04

Здравствуйте можете помочь решить их 10cos^2x+3cosx-1≥0 и
6sin^2x-sinx-1≤0

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-05-29 в 12:22
  
  10(2cos^2x-1)+3cosx-1>=0;
  20cos^2x+3cosx-11>=0;
  А дальше дискриминант кривой. Верно условие-то переписано?
  
  [ Ответить ]
  - Алия
    
    2017-05-29 в 13:52
    
    10cos2(тут 2 квадрат)x+3 cosx-1≥0
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2017-05-29 в 16:36
      
      Аа…
      10cos^2x+3cosx-1>=0;
      10(cosx+0,5)(cosx-0,2)>=0;
      Cosx<=-0,5 или cosx>=0,2;
      X in [2pi/3+2pin;4pi/3+2pin] или x in [-arccos0,2+2pin;arccos0,2+2pin], n in Z.
      Второе неравенство – аналогично.
      
      [ Ответить ]
      - Алия
        
        2017-05-29 в 19:34
        
        спасибо
        
        [ Ответить ]
Мансуров

2020-02-29 в 06:29

Помогите пожалуйста, срочно
Cos(5x+п/4)>0

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2020-02-29 в 10:41
  
  -п/2+2пn<5х+п/4<п/2+2пn, n in Z Ну и далее...
  
  [ Ответить ]
ВАЛЕНТИНА

2020-03-12 в 03:41

Хотелось бы еще примеры на функцию тангес

[ Ответить ]
Алексей

2020-03-12 в 06:51

CosX1.1
2CosX+√2≥2
Помогите пожалуйста

[ Ответить ]
ааа

2020-06-06 в 08:10

Огромное спасибо за понятное объяснение! Подскажите пожалуйста почему чтобы определить точки на единичной окружности иногда от пи а иногда от 2пи отнимаем значение угла x например. x=arcsin (a) Cпасибо!

[ Ответить ]
Aidanatileshova

2020-10-01 в 09:53

Помогите пожалуйста решить sin x^0??

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2020-10-02 в 09:48
  
  Sin 1 ???
  
  [ Ответить ]
SerikMarlen

2020-12-22 в 07:15

Помогите пожалуйста решить 2sin^2x-7sinx+3>(больше или равно) 0

[ Ответить ]
Саид

2021-09-19 в 10:47

ctg2.8<0 sin2.80 tg2.8>0 sin 208>1 помогите с обяснением плиз

[ Ответить ]