Простейшие тригонометрические неравенства

2015-04-20

Часть 1. 

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

sinx\vee a,

 cosx\vee a,

 tgx\vee a,

ctgx\vee a,

где \vee – один из знаков <,\;>,\;\leq,\;\geq, a\in R.

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I,  часть II).

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.

Решить неравенство: cosx<\frac{1}{2}.

Решение: 

Отмечаем на оси  косинусов \frac{1}{2}.

Все значения cosx, меньшие \frac{1}{2},левее точки \frac{1}{2} на оси косинусов.

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше \frac{1}{2}.

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки \frac{\pi}{3} до \frac{5\pi}{3}.

Обратите внимание, многие, назвав первую точку \frac{\pi}{3}, вместо второй точки  \frac{5\pi}{3}  указывают точку -\frac{\pi}{3}, что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z.

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик 2\pi n,\;n\in Z.

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

Пример 2.

Решить неравенство: cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси  косинусов -\frac{\sqrt2}{2}.

Все значения cosx, большие или равные -\frac{\sqrt2}{2}правее точки -\frac{\sqrt2}{2}, включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают тому условию, что  cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.

Пример 3.

Решить неравенство: sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси синусов -\frac{\sqrt3}{2}.

Все значения sinx, большие или равные -\frac{\sqrt3}{2},выше точки -\frac{\sqrt3}{2}, включая саму точку.

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

 -\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z

Пример 4.

Решить неравенство: sinx<1.

Решение:

Кратко:

\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z

или все x, кроме \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 5.

Решить неравенство: sinx\geq 1.

Решение:

Неравенство sinx\geq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx[-1;1].

x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 6.

Решить неравенство: sinx<\frac{1}{3}.

Решение:

Действия  – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n<x<arcsin\frac{1}{3}+2\pi+2\pi n,\;n\in Z

Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать

Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: \frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.

 

1. Решить неравенство: sinx<-\frac{1}{2}.

Ответ: + показать

2. Решить неравенство: cosx>-\frac{1}{2}.

Ответ: + показать

3. Решить неравенство: sinx\geq -1.

Ответ: + показать

4. Решить неравенство: sinx\geq 0.

Ответ: + показать

5. Решить неравенство: cosx\leq 0,2.

Ответ: + показать


Часть 2
Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!

Печать страницы
комментариев 170
  1. Олег

    Помогите решить пожалуйста:
    sin x≥-√2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Неравенство верно при всех x.

      [ Ответить ]
      • Олег

        Ясно,спасибо

        [ Ответить ]
  2. Алия

    Здравствуйте можете помочь решить их 10cos^2x+3cosx-1≥0 и
    6sin^2x-sinx-1≤0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      10(2cos^2x-1)+3cosx-1>=0;
      20cos^2x+3cosx-11>=0;
      А дальше дискриминант кривой. Верно условие-то переписано?

      [ Ответить ]
      • Алия

        10cos2(тут 2 квадрат)x+3 cosx-1≥0

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Аа…
          10cos^2x+3cosx-1>=0;
          10(cosx+0,5)(cosx-0,2)>=0;
          Cosx< =-0,5 или cosx>=0,2;
          X in [2pi/3+2pin;4pi/3+2pin] или x in [-arccos0,2+2pin;arccos0,2+2pin], n in Z.
          Второе неравенство – аналогично.

          [ Ответить ]
          • Алия

            спасибо

            [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

20 − один =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif