Простейшие тригонометрические неравенства

2015-04-20

Часть 1. 

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

sinx\vee a,

 cosx\vee a,

 tgx\vee a,

ctgx\vee a,

где \vee – один из знаков <,\;>,\;\leq,\;\geq, a\in R.

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I,  часть II).

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.

Решить неравенство: cosx<\frac{1}{2}.

Решение: 

Отмечаем на оси  косинусов \frac{1}{2}.

Все значения cosx, меньшие \frac{1}{2},левее точки \frac{1}{2} на оси косинусов.

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше \frac{1}{2}.

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки \frac{\pi}{3} до \frac{5\pi}{3}.

Обратите внимание, многие, назвав первую точку \frac{\pi}{3}, вместо второй точки  \frac{5\pi}{3}  указывают точку -\frac{\pi}{3}, что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z.

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик 2\pi n,\;n\in Z.

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

Пример 2.

Решить неравенство: cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси  косинусов -\frac{\sqrt2}{2}.

Все значения cosx, большие или равные -\frac{\sqrt2}{2}правее точки -\frac{\sqrt2}{2}, включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают тому условию, что  cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.

Пример 3.

Решить неравенство: sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси синусов -\frac{\sqrt3}{2}.

Все значения sinx, большие или равные -\frac{\sqrt3}{2},выше точки -\frac{\sqrt3}{2}, включая саму точку.

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

 -\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z

Пример 4.

Решить неравенство: sinx<1.

Решение:

Кратко:

\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z

или все x, кроме \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 5.

Решить неравенство: sinx\geq 1.

Решение:

Неравенство sinx\geq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx[-1;1].

x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 6.

Решить неравенство: sinx<\frac{1}{3}.

Решение:

Действия  – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n<x<arcsin\frac{1}{3}+2\pi+2\pi n,\;n\in Z

Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать

Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: \frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.

 

1. Решить неравенство: sinx<-\frac{1}{2}.

Ответ: + показать

2. Решить неравенство: cosx>-\frac{1}{2}.

Ответ: + показать

3. Решить неравенство: sinx\geq -1.

Ответ: + показать

4. Решить неравенство: sinx\geq 0.

Ответ: + показать

5. Решить неравенство: cosx\leq 0,2.

Ответ: + показать


Часть 2
Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!

Печать страницы
Комментариев: 136
  1. Duma

    Ну а тангенсы\котангенсы где???

    [ Ответить ]
    • egeMax

      А в начале статьи ссылку на часть 2 не пробовали открывать??

      [ Ответить ]
      • Сабина

        Здравствуйте.Подскажите пожалуйста,почему в примере №2 такой ответ?Можно ли взять 3pi/4 и 5pi/4 ?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Если бы вы решали уравнение cosx=-\frac{\sqrt2}{2}, то можно было бы записать \frac{3\pi}{4}+2\pi n и \frac{5\pi}{4}+2\pi n, n\in Z. В случае же неравенства нам важно, во-первых, следить за тем, чтобы правый конец промежутка был бы больше левого!!!.
          К тому же, [\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n] и [-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{3\pi}{4}+2\pi n] – абсолютно разные отрезки. Они «дополняют» друг друга до окружности.
          Ответ к неравенству можно было бы дать, например, и такой: \frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n, n\in Z, что представляется мне менее удобным.

          [ Ответить ]
  2. ольга

    как такое решить
    2*cosx(2*x+pi/3)<=1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ольга, видимо вы иеете ввиду 2cos(2x+\frac{\pi}{3})\leq 1, а не 2cosx(2x+\frac{\pi}{3})\leq 1?
      Если первый вариант, то далее так:
      cos(2x+\frac{\pi}{3})\leq \frac{1}{2};
      \frac{\pi}{3}+2\pi n\leq 2x+\frac{\pi}{3}\leq \frac{5\pi}{3}+2\pi n,n\in Z;
      2\pi n\leq 2x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,n\in Z;
      \pi n\leq x\leq \frac{2\pi}{3}+\pi n,n\in Z;

      [ Ответить ]
  3. Ольга

    Как решить такое? Помогите, пожалуйста!)
    2πn<cosx<π + 2πn

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ольга, тут, скорее всего, что-то с условием не то… Откуда вышли на это неравенство? Исходник какой?

      [ Ответить ]
  4. Евгения

    Скажите, пожалуйста, а как вообще определять значение arcsin, arccos, arctg? Ведь в таблице для одного и того же числа написано несколько значений. Я уже неделю бьюсь, а принцип понять все никак не могу!!!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Евгения, вам сюда.

      [ Ответить ]
      • Евгения

        Да, это то, что мне нужно! Спасибо!

        [ Ответить ]
  5. Диана

    А как такое решить
    3cos^2 t меньше cos t
    3cos^2 t больше cos t
    (Знаки не пишутся почему то)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      3cos^2t<cost;
      cost(3cost-1)<0;
      0<cost<\frac{1}{3};
      t\in (-\frac{\pi}{2}+2\pi n;-arccos\frac{1}{3}+2\pi n)\cup
      \cup (arccos\frac{1}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n),n\in Z.

      Второе неравенство решается аналогично (появится совокупность…).

      [ Ответить ]
  6. сарсен

    в примере 2 почему 3п/2, не 5п/2?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не поняла вопроса. Вроде в примере 2 и не идет речь о 3п/2… Уточните, пожалуйста.

      [ Ответить ]
  7. Вера

    в примере 4 ошибка, должно быть 5пи/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вера,конечно, спасибо!

      [ Ответить ]
  8. Лина

    Можете пожалуйста помочь
    корень из 2sin(x/3 + П/4) меньше или равно 1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      sin(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4})\leq \frac{1}{2};
      \frac{5\pi}{6}+2\pi n\leq \frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\leq\frac{13\pi}{6}+2\pi n, n\in Z;
      \frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}+2\pi n\leq \frac{x}{3}\leq\frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;
      \frac{7\pi}{12}+2\pi n\leq \frac{x}{3}\leq\frac{23\pi}{12}+2\pi n, n\in Z;
      \frac{7\pi}{4}+6\pi n\leq x\leq\frac{23\pi}{4}+6\pi n, n\in Z;

      [ Ответить ]
  9. Лилия

    Sin x < 1\2
    помогите пожалуйста!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      sinx<\frac{1}{2};
      \frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{13\pi}{6}+2\pi n, n\in Z.

      [ Ответить ]
  10. Вера

    Помогите пожалуйста с неравенством.
    sinx>cosx

    [ Ответить ]
    • egeMax

      sinx-cosx>0;
      \frac{\sqrt2}{2}sinx-\frac{\sqrt2}{2}cosx>0;
      sin(x-\frac{\pi}{4})>0;
      2\pi n<x-\frac{\pi}{4}<\pi +2\pi n,n\in Z;
      \frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4} +2\pi n,n\in Z.

      [ Ответить ]
      • Наталья

        Почему нельзя перейти к тангенсам? Уравнения так решаются.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Каким образом вы перейдете к тангенсам? Путем деления на cos x? А вы знаете знак cos x? Менять знак неравенства или нет?
          Можно, конечно, но вам придется рассматривать три случая:
          cos x=0
          cos x>0
          cos x<0

          [ Ответить ]
  11. анна

    помогите, пожалуйста!
    2cos(x+2)>-1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      cos(x+2)>-\frac{1}{2};
      -\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x+2<\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z;
      -2-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<-2+\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z.

      [ Ответить ]
  12. Сергей

    Спасибо, большое. То, что искал.
    Единственное, в чем еще так и не разобрался, когда мы используем положительные pi/6, pi/4, pi/3 и др., а когда отрицательные -pi/6, -pi/4, -pi/3. В комментариях написано, что будут совершенно разные отрезки. Есть ссылки на материал, где можно было бы такие примеры рассмотреть. В учебнике Мордковича эта тема пробегается вскользь, я даже подумал, что и разницы между положительными и отрицательными нет.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сергей, следите за тем, чтобы в ответе начало промежутка не было бы больше конца. Варьируйте при этом отрицательными-положительными значениями…
      Например, промежуток (-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{3\pi}{4}+2\pi n), n\in Z и (\frac{5\pi}{4}+2\pi n;\frac{11\pi}{4}+2\pi n), n\in Z – одно и тоже. Вид разный, суть одна.
      Вам полезно прорешать задачи для самостоятельной работы (в конце статьи). Если ответы сойдутся, – все отлично, если нет, то, быть может, вовсе и нет ошибки (просто разные формы ответа)… Пишите сюда, посмотрим вместе.

      [ Ответить ]
      • Сергей

        да, спасибо, получилось почти всё. С ответом не сошелся только первый пример. Я обозначил, что -5pi/6 < x < 11pi/6. То есть точки нашел правильно, уже хорошо :), а взял последнюю положительную, чтоб наверняка. Или в данном случае, должно быть как в ответе -5pi/6 < x < -pi/6 ?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Сергей, ответ к первому примеру для с/р -\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6} неверен.
          Нельзя взять после -\frac{5\pi}{6} значение \frac{11\pi}{6}!!!
          Только -\frac{\pi}{6} на конце (если уж вначале взято -\frac{5\pi}{6})!!!
          Можно было бы и такой ответ дать: \frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+2\pi n,n\in Z.
          Иначе вы берете промежуток не длиной \frac{2\pi}{3}, а длиной 2\pi+\frac{2\pi}{3}.
          И не забывайте про счетчик 2\pi n, n\in Z..

          [ Ответить ]
      • Сергей

        А можно такой вопрос, пожалуйста. Я по учебнику Мордковича занимаюсь, у него один вид ответа, но для проверки после решения смотрю в ГДЗ, там вид ответа совершенно другой. И я даже не представляю, правильно ли я решил-то пример или нет.
        Вот, например, уравнение: 10sin t = Sqr75. Мой ответ получился: sin t= pi/3+2pi*n. А в ответе ГДЗ: -1^n pi/3 + pi*n
        Что за -1 в энной степени и откуда его взяли Мордкович умалчивает (в учебнике по-другому)

        [ Ответить ]
        • Сергей

          Вот как здесь, например: http://uchim.org/gdz/gdz-10-klass-algebra-mordkovich-v2/101

          [ Ответить ]
        • egeMax

          Сергей, что такое sint=\frac{\pi}{3}+2\pi n??
          Может быть, t=\frac{\pi}{3}+2\pi n?
          Но и это не так.
          Должно быть так:
          sint=\frac{\sqrt3}{2};
          t=\frac{\pi}{3}+2\pi n или t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z.
          Ответ x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z вмещает в себя t=\frac{\pi}{3}+2\pi n и t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z, в чем несложно убедиться, перебирая n=0;\pm 1;...
          Ответ может быть записан как в краткой форме, так и нет.

          [ Ответить ]
          • Сергей

            понял. и в то же время не понял)) а какая форма считается полной, а какая, соответственно, краткой? И -1^n пока все равно остается загадкой. Поменяю-ка я себе учебник, пожалуй :)
            Спасибо Вам за объяснение.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Ответ x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z – краткий, t=\frac{\pi}{3}+2\pi n и t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z – нет.
            Но суть одна.
            Как понять x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z ?
            Берем n=0 –––> получаем x=\frac{\pi}{3},
            Берем n=1 –––> получаем x=-\frac{\pi}{3}+\pi или \frac{2\pi}{3},
            Берем n=2 –––> получаем x=\frac{\pi}{3}+2\pi и т.д.

            [ Ответить ]
  13. Сергей

    ааааа, гениально!))))) Действительно, все проще, чем я себе представлял! Ну да, теперь все встало на свои места.
    Нет слов)))

    [ Ответить ]
  14. Сымбат

    Спасибо огромное автору!!!!

    [ Ответить ]
  15. Виктория

    Помогите решить, пожалуйста.

    sinx/2 больше или равно корня из 2/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      \frac{x}{2} \in [\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{3\pi}{4}+2\pi n,n\in Z];
      x \in [\frac{\pi}{2}+4\pi n;\frac{3\pi}{2}+4\pi n,n\in Z].

      [ Ответить ]
  16. Надя

    Принцип понимаю, но в данном случае не понимаю, каков ответ. Помогите, пожалуйста.
    -2Cos(x/3)>1
    Cos(x/3)<-1/2
    2pi/3+2pin < x/3 < 4pi/3+2pin
    2pi+6pin < x < 4pi+6pin

    2пи и 4пи ведь можно убрать? Но что в итоге?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Куда убрать? Как это убрать? Не надо. Все верно. Только не забудьте указать, что n\in Z.

      [ Ответить ]
      • Надя

        Спасибо! :)

        [ Ответить ]
  17. Елена

    cos^2x>3/4
    помогите решить, сама подзабыла

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Начните так:
      cos^2x-\frac{3}{4}>0;
      (cosx-\frac{\sqrt3}{2})(cosx+\frac{\sqrt3}{2})>0;
      Откуда cosx<-\frac{\sqrt3}{2} и cosx>\frac{\sqrt3}{2} или
      cosx>-\frac{\sqrt3}{2} и cosx<\frac{\sqrt3}{2}. Или сразу методом интервалов…
      пробуйте :)

      [ Ответить ]
  18. Натали

    помогите решить
    sin x <или=-1/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      x\in [\frac{7\pi}{6}+2\pi n ;\frac{11\pi}{6}+2\pi n],n\in Z.

      [ Ответить ]
  19. gabdulbarovaregina

    помогите решить
    sinx<0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      x\in (\pi+2\pi n;2\pi +2\pi n), n\in Z.

      [ Ответить ]
  20. Den

    sin2x>или=0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      И?

      [ Ответить ]
  21. Настя

    Помогите пожалуйста решить |x-2П|<= cos x-1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Область значений левой части – [0;+\unfty).
      Область значений правой части – [-2;0].
      Вывод: если решение и есть, то только в случае x-2\pi=cosx-1=0.
      Ответ: 2\pi.

      [ Ответить ]
  22. Настя

    Помогите решить вот такое неравенство

    2sin 5x <= -1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      7π/6+2πn<5x<11π/6+2πn, n – целое.
      Тогда ...

      [ Ответить ]
  23. Аня

    2sinx=√3 cos(5п/2+x) Помогите решить, пожалуйста

    [ Ответить ]
    • egeMax

      2sinx=-\sqrt3sinx;
      sinx=0
      Может быть, слева 2sin^2x?

      [ Ответить ]
  24. Василиса

    Здравствуйте! Спасибо за статью – очень полезная.
    Подскажите мне, пожалуйста, как решить это неравенство: cosx+cos2x+cos3x<0
    Я дошла до этого момента: (2cosx+1)(2cos^2-1)<0 , а как дальше определить значение косинуса я не знаю((

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Далее (cosx+\frac{1}{2})(cosx-\frac{\sqrt2}{2})(cosx-\frac{\sqrt2}{2})<0 (ко второй скобке применили формулу разности квадратов).
      Выходите на тригонометрический круг, отметьте на оси косинусов точки \pm \frac{\sqrt2}{2};-\frac{1}{2}. Расставьте знаки на 4-х полученных промежутках.
      Откуда x\in (\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n)\cup (\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n)\cup
      \cup (\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\frac{7\pi}{4}+2\pi n),n\in Z.

      [ Ответить ]
      • Василиса

        Спасибо большое! Вы меня осенили!!

        [ Ответить ]
  25. Дианаа

    -4tg(x+pi\8)меньше или равно корень из 3

    [ Ответить ]
  26. Гульнур

    3tg(п/4-x)«^3

    [ Ответить ]
  27. Гульнур

    Cosx/3<1/2
    Пожалуйста помогите

    [ Ответить ]
    • egeMax

      cos\frac{x}{3}<\frac{1}{2};
      \frac{\pi}{3}+2\pi n<\frac{x}{3}<\frac{5\pi}{3}+2\pi n, n\in Z;
      \pi+6\pi n<x<5\pi+6\pi n, n\in Z.

      [ Ответить ]
  28. Иван

    Помогите пожалуйста 1) sin(2x+pi/4)=>sin(3x/4) и 2)(корень3)tg(pi/3-x)-1<=0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) sin(4x+\frac{\pi}{4})\geq sin\frac{3x}{4};
      2sin\frac{4x+\frac{\pi}{4}-\frac{3x}{4}}{2}cos\frac{4x+\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{4}}{2}\geq 0;
      sin\frac{\pi+13x}{8}cos\frac{\pi+19x}{8}\geq 0;
      sin\frac{\pi+13x}{8}\geq 0 и cos\frac{\pi+19x}{8}\geq 0
      или
      sin\frac{\pi+13x}{8}\leq 0 и cos\frac{\pi+19x}{8}\leq 0.
      Ну и далее…
      2) tg(\frac{\pi}{3}-x)\leq \frac{1}{\sqrt3};
      \frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{\pi}{3}-x\leq \frac{\pi}{6}+\pi n, n\in Z;

      [ Ответить ]
      • Иван

        Спасибо)

        [ Ответить ]
  29. Ксения

    Здравствуйте, мне могли бы помочь с решением этого неравенства: (sin x + cos x)^2>1/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      sin^2x+2sinxcosx+cos^2x>\frac{1}{2};
      1+sin2x>\frac{1}{2};
      sin2x>-\frac{1}{2};
      -\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,n\in Z;
      -\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n,n\in Z.

      [ Ответить ]
  30. Bibigul

    2 cos (2x+pi/3)>_1

    [ Ответить ]
  31. Денис

    Здравствуйте, помогите пожалуста с решением неравенства “cosx≥√3/2”

    [ Ответить ]
    • egeMax

      x\in [-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n],n\in Z.

      [ Ответить ]
  32. Денис

    1+3sin²x=2sin2x,с этим примером тоже помогите,пожалуйста.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      cos^2x+sin^2x+3sin^2x=4sinxcosx;
      cos^2x+4sin^2x=4sinxcosx;
      Делите на cos^2x.
      1+4tg^2x=4tgx;
      4tg^2x-4tgx+1=0;
      (2tgx-1)^2=0;
      tgx=\frac{1}{2};
      x=arctg \frac{1}{2}+\pi n,n\in Z.

      [ Ответить ]
  33. Руслан

    Здравствуйте. У меня в пятом самостоятельном задании получился ответ [-arcsin0,2 + 2Пn; arcsin0,2 + 2Пn] Можете объяснить почему это неверно?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ваш ответ – к неравенству cosx\geq 0,2, а не к cosx\leq 0,2.

      [ Ответить ]
  34. Диана

    Здравствуйте,помогите решить, пожалуйста : sin x * cos x > 0,25.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      sinx\cdot cosx>0,25;
      2sinx\cdot cosx>0,5;
      sin2x>0,5;
      \frac{\pi}{6}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z.

      [ Ответить ]
  35. Ольга

    Почему при решении тригонометрических уравнений с синусом используется формула (-1)^n….., а при решении неравенств сразу ставим arcsin(..). В чем особенность применения этих двух решений?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      (-1)^n… позволяет две серии корней объединить в одну формулу. Никто не заставляет вас пользоваться этой формулой… тем более, если нет понимания ее…

      [ Ответить ]
  36. Молдир

    Помогите решить пожалуйста)
    cos2x + cosx > 0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Например, так
      2cos^2x+cosx-1>0;
      2(cosx+1)(cosx-\frac{1}{2})>0;
      Если cosx+1=0, то 0>0 – неверно.
      Если cosx+1>0, то поделим обе части неравенства на cosx+1:
      Получим простейшее неравенство: cosx>\frac{1}{2}...
      Отрицательной сумма cosx+1 быть не может.

      Можно иначе. Методом интервалов, после второй строки.

      [ Ответить ]
  37. Инна

    Помогите пожалуйста
    cosx<-(√3/2)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      x\in (\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n), n\in Z.

      [ Ответить ]
  38. Вадим

    Подскажите,пожалуйста,нужно решить неравенство (корень из2)*(/2)−1 ≥ 0 с помощью тригонометрического круга

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ???

      [ Ответить ]
      • Вадим

        (корень из2)*cos(x/2)−1 ≥ 0

        [ Ответить ]
        • egeMax

          cos\frac{x}{2}\geq \frac{1}{\sqrt2};
          cos\frac{x}{2}\geq \frac{\sqrt2}{2};
          -\frac{\pi}{4}+2\pi n\leq \frac{x}{2}\leq \frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;
          -\frac{\pi}{2}+4\pi n\leq x\leq \frac{\pi}{2}+4\pi n, n\in Z;

          [ Ответить ]
  39. Lera

    Здравствуйте! помогите, пожалуйста.
    a) |cosx|=0
    c) sqrt(3)sinx+cosx<0
    d) |tg(2x-pi/4)|<sqrt(3)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      \sqrt3sinx+cosx<0;
      Делим на 2:
      \frac{\sqrt3}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx<0;
      cos\frac{\pi}{6}sinx+sin\frac{\pi}{6}cosx<0;
      Применяем формулу синуса суммы:
      sin(x+\frac{\pi}{6})<0;
      -\pi +2\pi n<x+\frac{\pi}{6}<2\pi n, n\in Z;

      [ Ответить ]
      • Lera

        Благодарю.:-)

        [ Ответить ]
  40. Lera

    под пунктом с) решила. а вот с модулем у меня проблемы. помогите, пожалуйста

    [ Ответить ]
    • egeMax

      -\sqrt3<tg(2x-\frac{\pi}{4})<\sqrt3;
      -\frac{\pi}{3}+\pi n<2x-\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z;

      [ Ответить ]
  41. Вероника

    Скажите, пожалуйста, почему в 3 примере для тренировки ( sin(x)>/= -1) ответ от минус бесконечности до бесконечности? Ведь область определения от [-1;1]. Следовательно и ответ будет: [-П/2+2Пn; П/2+2Пn]

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не путайте область определения и область значений! [-1;1] – это область значений.

      [ Ответить ]
  42. Lera

    Здравствуйте еще раз. не могу решить один пример. помогите, пожалуйста.
    Sin(2*pi*cosx)<0
    Обозначим 2*pi*cosx=t. тогда решаем неравенство sint<0. его решением является pi+2*pi*k<t<2*pi+2*pi*k
    pi+2*pi*k<2*pi*cosx<2*pi+2*pi*k
    1/2+k<cosx<1+k???
    так как |cosx|<=1, то к=0???
    и тогда решаем неравенство 1/2<cosx<1???

    [ Ответить ]
    • egeMax

      sin(2\pi cosx)<0;
      2\pi cosx \in (-\pi +2\pi n;2\pi n), n\in Z.
      С учетом того, что 2\pi cosx \in [-2\pi;2\pi], видим, что n=0 или n=1.
      Итак, 2\pi cosx\in (-\pi;0)\cup (\pi;2\pi);
      cosx \in (-\frac{1}{2};0)\cup (\frac{1}{2};1).
      Ну и далее…

      [ Ответить ]
      • Lera

        Спасибо БОЛЬШОЕ!

        [ Ответить ]
  43. Татьяна

    помогите решить пожалуйста
    0 меньше либо равно синусХ меньше или равно 1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Неравенство 0\leq sinx\leq 1 равносильно неравенству sinx\geq 0.
      x\in [2\pi n;\pi+2\pi n], n\in Z.

      [ Ответить ]
  44. Лиза

    как решить
    1) tg 3x -0.3
    3) cos 3x < -3

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Второе не имеет решений. А первое у вас ни уравнение, ни неравенство – не понятно, что с этим делать…

      [ Ответить ]
      • Лиза

        спасибо большое, второе у меня как раз вызывало сомнения))

        [ Ответить ]
  45. Татьяна

    Почему в решении с синусом период берется 2Пn, у синуса ведь период 2П?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      2пи – это только наименьший период.

      [ Ответить ]
  46. Михаил

    Здравствуйте, не могу справиться с двумя тригонометрическим неравенством: cos(2x+(5п/6))>sin(2x+(5п/6))-1 и (sin2x)^(2)+(sin3x)^(2)+(sin4x)^(2)+(sin5x)^(2)>=2. Помогите, пожалуйста. Буду очень вам признателен.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) Переносим синус в левую сторону. Домножаем обе части неравенства на корень из 2-х на два. То есть используем введение вспомогательного аргумента.
      Тогда в левой части – синус разности. Справа – минус корень из 2-х на два. Думаю, дальше понятно…
      2) Используем формулу понижения степени, то есть первое слагаемое – это (1-cos4x):2, второе – (1-cos6x):2 и т.д.
      Тогда выйдете на неравенство: cos4x+cos6x+cos8x+cos10x≤0. Далее группируйте слагаемые.

      [ Ответить ]
      • Михаил

        Спасибо вам огромное, Елена Юрьевна.

        [ Ответить ]
  47. Евгения

    Статья очень помогла, но до сих пор не могу понять. Почему в одном случае ставим,например, -pi/3 и pi/3, а в других pi/6 и 5pi/6? Также, как определяются точки?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Евгения, к сожалению, я не могу вам этого объяснить в двух словах. У меня по этому поводу написаны статьи. Ищите ссылки вначале этой статьи.

      [ Ответить ]
      • Ирина

        arcsin [sin(2)x30+(676,45xsin2x30xcos30xtg30/28800) в 0.75 степени] в 0.5 степени где sin (2) это синус в квадрате Здравствуйте! Помогите пожалуйста это решить.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ирина, что такое “x30” в записи “sin(2)x30”?

          [ Ответить ]
          • Ирина

            синус в квадрате а 30 это градусы

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Интересно, а что же такое “x”?.. Уж не думаете ли вы, что это знак умножения? Если так, то вам совсем рано решать подобные примеры…
            Очень сложно понять условие. Такое:
            (arcsin(sin^230^{\circ}+(\frac{676,45sin^230^{\circ}\cdot cos30^{\circ}}{28800})^{0,75})^{0,5}?

            [ Ответить ]
          • Ирина

            все так только перед arcsin нет скобки и в числителе sin2 а не в квадрате и cos30 умножено еще и на tg30 (извините….я не умею писать формулы как Вы )))

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Ирина, простите, но я вряд ли смогу вам помочь… Я так и не понимаю что к чему в условии… http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif

            [ Ответить ]
  48. ma19ria99

    Подскажите пожалуйста, как решать неравенство tg x >= 0?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вам сюда
      Если уж и тогда будет непонятно, – пишите еще…

      [ Ответить ]
      • ma19ria99

        Можете объяснить, пожалуйста? Так и не поняла, как решать своё неравенство

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Первый способ рассуждений:
          Тангенс положителен в I, III четвертях. Равен нулю в точках \pi n, n\in Z.
          Итого x\in [\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n), n\in Z (за счет счетчика \pi n взяты обе четверти).
          Второй (если знакомы с осью тангенсов):
          На оси тангенсов отмечаем зону [0;+\infty). Транслируем ее на тригонометрический круг – получаем объединение двух дуг (I, III четверти) с одним открытым концом. В приведенной выше ссылке расписано все подробно, я не буду повторяться здесь.

          [ Ответить ]
          • ma19ria99

            Спасибо

            [ Ответить ]
  49. Алина

    Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с примером.
    Sin4x меньше – корень из 3/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      sin4x<-\frac{\sqrt3}{2}.
      Начертите тригонометрический круг. Проведитечерез точку минус корень из 3 на два на оси синусов горизонталь, рабочая зона – часть оси синусов под этой точкой. Этой зоне соответствуют следующие значения аргумента:
      4x\in (\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n), n\in Z;
      Далее сами… x\in...

      [ Ответить ]
  50. Ruslana

    здраствуйте) помогите решыть
    под коренем cosx-sinx>=1/2+3cosx

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Такое условие \sqrt{cosx-sinx}\geq \frac{1}{2}+3cosx?
      Если да, то начинаем рассуждать так:
      Если \frac{1}{2}+3cosx<0, то cosx-sinx\geq 0.
      Если \frac{1}{2}+3cosx\geq 0, то cosx-sinx\geq \frac{1}{4}+9cos^2x+3cosx.
      Понятно ли начало решения? Если нет, то дальше мне писать бессмысленно. Задавайте вопросы…

      [ Ответить ]
      • Ruslana

        да, спасибо)

        [ Ответить ]
  51. Абдрахман

    хрень полная

    [ Ответить ]
  52. Катя

    Помогите пожалуйста
    sin (2x+y) >= 0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      2pi n =<2x+y=

      [ Ответить ]
  53. Артур

    sinx меньше корень из 3/2

    [ Ответить ]
  54. Aleksandr

    Спасибо вам за помощь ! Хорошо и толково объяснено :)

    [ Ответить ]
  55. D

    Помогите пожалуйста
    Cos5x больше и равен корень из 3 на 2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      -\frac{\pi}{6}+2\pi n\leq 5x\leq \frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z;
      -\frac{\pi}{30}+0,4\pi n\leq x\leq \frac{\pi}{30}+0,4\pi n, n \in Z.

      [ Ответить ]
  56. Dasha

    Как можно решить такие неравенство
    Sinx>0
    tgx <0
    cosx0https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пользуясь точно таким же алгоритмом, что использован при решении разобранных в статье неравенств…

      [ Ответить ]
  57. Dasha

    Cgtx>0

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif