Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. Часть 1

2013-12-12

Прежде чем решать тригонометрические уравнения, вы должны хорошо разбираться  в тригонометрическом круге.

Все тригонометрические уравнения, какими они не были  – простыми или сложными, в итоге сводятся к решению четырех типов простейших тригонометрических уравнений.

Вы просто обязаны уметь решать уравнения вида

sin\:x=a,\;cos\:x=a,\;tg\:x=a,\;ctg\:x=a.

Формулы–алгоритмы  будут  разбросаны  по  трем статьям,

здесь же они собраны все вместе =>

+ показать

Давайте разбираться. В этой статье мы рассмотрим решение уравнения вида cos\:x=a. Решение остальных типов простейших уравнений смотрим здесь: часть 2 (sin\:x=a), часть 3 (tg\:x=a,  ctg\:x=a)

 Уравнение вида \LARGE cos\:x=a

 

Решим уравнение cos\:x=\frac{1}{2}.

Мы должны подобрать такие значения аргумента x, то есть такие значения углов, косинус которых равнялся бы \frac{1}{2}.

Смотрим на тригонометрический круг, на оси косинусов находим \frac{1}{2}:

Выстраиваем через эту точку вертикаль, получаем две точки на круге:

Но надо понимать, что за этими точками скрывается бесконечно много других точек, – таких, косинус в которых также равен \frac{1}{2}. Мы об этом подробно говорили в предыдущей статье, когда знакомились с тригонометрическим кругом.

На координатной прямой подходящие нам точки располагаются  так:

А с графической точки зрения решение уравнения  cos\:x=\frac{1}{2} выглядело бы так:

Как все точки взять в ответ?

Нам поможет счетчик n. Возьмем n\in Z, то есть n=...-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;...

Решением уравнения cos\:x=\frac{1}{2} будет

x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z

Возьмите, поперебирайте различные значения n, подставьте в вышеуказанную формулу.

Вы получите как раз точки \pm\frac{\pi}{3}  при n=0,

\frac{7\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3} при n=1,

\frac{13\pi}{3},\;\frac{11\pi}{3} при n=2 и т.д.

То что нам нужно!

Если бы мы решали, например,  уравнение cos\:x=-\frac{\sqrt2}{2}, то решением бы было

x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\;n\in Z.

Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования  ответа.

Давайте дадим  формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения

cos\:x=a, где a – из [-1;\:1]

(в противном случае, когда a – не из [-1;\;1] – решений нет)

Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккосинус».

x=\pm arccos\:a +2\pi n, \;n\in Z.

 

Если нам попадается уравнение с нетабличным значением косинуса, вроде этого cos\:x=0,3, то решение будет следующее:

 x=\pm arccos\:0,3+2\pi n,\;n\in Z.

 

Частные случаи решения уравнения cos\:x=a

1) cos\:x=0

 Мы должны бы записать так:

x=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z.

Но можно записать решение иначе (ведь в данном случае между точками расстояние – полкруга, значит нам можно использовать полукруговой счетчик \pi n):

x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z.

2) cos\:x=1

У нас только одна серия корней:

x=0+2\pi n,n\in Z, то есть x=2\pi n,n\in Z.

3) cos\:x=-1

Аналогично решению примера 2, решение такое: x=\pi+2\pi n,\;n\in Z.

Печать страницы
Один комментарий
  1. Александр

    Здорово ))

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif