Задание №15 Т/Р №100 А. Ларина

2015-09-04

Ранее задание значилось под №15. Сейчас – под №13 (С1).

Смотрите также  №16, №17, №18, №20.

Дано уравнение:

log_{100}(cos2x+cos\frac{x}{2})+log_{\frac{1}{100}}(sinx+cos\frac{x}{2})=0.

a) Решите уравнение;

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [\frac{\pi}{2};2\pi].

 Решение:

а)

log_{100}(cos2x+cos\frac{x}{2})=log_{100}(sinx+cos\frac{x}{2});

\begin{cases} cos2x+cos\frac{x}{2}=sinx+cos\frac{x}{2},& &sinx+cos\frac{x}{2}>0;& \end{cases}

\begin{cases} 1-2sin^2x=sinx,& &sinx+cos\frac{x}{2}>0;& \end{cases}

\begin{cases} 2sin^2x+sinx-1=0,& &sinx+cos\frac{x}{2}>0;& \end{cases}

 \begin{cases}  \left[\begin{gathered} sinx=-1,& sinx=\frac{1}{2}; \end{gathered}\right& &sinx+cos\frac{x}{2}>0;& \end{cases}

\begin{cases}  \left[\begin{gathered} x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z,& x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, k\in Z,& x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z;& \end{gathered}\right& &sinx+cos\frac{x}{2}>0;& \end{cases}

Очевидно, решение первой строки совокупности не удовлетворяет неравенству sinx+cos\frac{x}{2}>0.

Проверим, удовлетворяют ли решения 2-й и 3-й строк совокупности неравенству sinx+cos\frac{x}{2}>0:

При x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, k\in Z  значение выражения sinx+cos\frac{x}{2}  может быть как отрицательным, так и положительным.

А именно (заметив, что \frac{\pi}{12}+\pi k, k\in Z – это объединение \frac{\pi}{12}+2\pi m, m\in Z  и  \frac{13\pi}{12}+2\pi m, m\in Z),

\frac{1}{2}+cos(\frac{\pi}{12}+2\pi  m)>0, m\in Z, так как cos\frac{\pi}{12}>0;

\frac{1}{2}+cos(\frac{13\pi}{12}+2\pi m)<0, m\in Z, так как cos\frac{13\pi}{12}<-\frac{1}{2};

То есть отбираем следующие корни: x=\frac{\pi}{6}+4\pi m, m\in Z.

При x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z  значение выражения sinx+cos\frac{x}{2} положительно.

Действительно (заметим, что \frac{5\pi}{12}+\pi k, k\in Z – это объединение \frac{5\pi}{12}+2\pi l, l\in Z  и  \frac{17\pi}{12}+2\pi l, l\in Z),

\frac{1}{2}+cos(\frac{5\pi}{12}+2\pi l)>0, l\in Z, так как cos\frac{5\pi}{12}>0;

\frac{1}{2}+cos(\frac{17\pi}{12}+2\pi l)<0, l\in Z, так как cos\frac{17\pi}{12}>-\frac{1}{2};

Итак, решение данного уравнения – x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k и x=\frac{\pi}{6}+4\pi m, m\in Z.

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка [\frac{\pi}{2};2\pi].

Ответ: 

а) \frac{5\pi}{6}+2\pi k, \frac{\pi}{6}+4\pi m, k, m\in Z.

б) \frac{5\pi}{6}.

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Дима

    Почему не нужно писать, что cos(2x)+cos(x/2)>0??

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дмитрий, потому что cos2x+cos\frac{x}{2}=sinx+cos\frac{x}{2}, а про сумму sinx+cos\frac{x}{2} мы сказали, что она больше нуля, значит, автоматически, сказали и про cos2x+cos\frac{x}{2}.

      [ Ответить ]
      • Дима

        Примерно понятно, большое спасибо

        [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif