Задание №15 Т/Р №100 А. Ларина

Смотрите также  №16, №17, №18, №20

Дано уравнение:

$log_{100}(cos2x+cos\frac{x}{2})+log_{\frac{1}{100}}(sinx+cos\frac{x}{2})=0.$

a) Решите уравнение;

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$

 Решение:

а)

$log_{100}(cos2x+cos\frac{x}{2})=log_{100}(sinx+cos\frac{x}{2});$

$\begin{cases}cos2x+cos\frac{x}{2}=sinx+cos\frac{x}{2},\\sinx+cos\frac{x}{2}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}1-2sin^2x=sinx,\\sinx+cos\frac{x}{2}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}2sin^2x+sinx-1=0,\\sinx+cos\frac{x}{2}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}sinx=-1,\\sinx=\frac{1}{2};\end{array}\right.\\sinx+cos\frac{x}{2}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z,\\x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, k\in Z,\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z;\end{array}\right.\\sinx+cos\frac{x}{2}>0;&\end{cases}$

Очевидно, решение первой строки совокупности не удовлетворяет неравенству $sinx+cos\frac{x}{2}>0.$

Проверим, удовлетворяют ли решения 2-й и 3-й строк совокупности неравенству $sinx+cos\frac{x}{2}>0:$

При $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, k\in Z$  значение выражения $sinx+cos\frac{x}{2}$  может быть как отрицательным, так и положительным.

А именно (заметив, что $\frac{\pi}{12}+\pi k, k\in Z$ – это объединение $\frac{\pi}{12}+2\pi m, m\in Z$  и  $\frac{13\pi}{12}+2\pi m, m\in Z$),

$\frac{1}{2}+cos(\frac{\pi}{12}+2\pi  m)>0, m\in Z,$ так как $cos\frac{\pi}{12}>0;$

$\frac{1}{2}+cos(\frac{13\pi}{12}+2\pi m)<0, m\in Z,$ так как $cos\frac{13\pi}{12}<-\frac{1}{2};$

То есть отбираем следующие корни: $x=\frac{\pi}{6}+4\pi m, m\in Z$.

При $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z$  значение выражения $sinx+cos\frac{x}{2}$ положительно.

Действительно (заметим, что $\frac{5\pi}{12}+\pi k, k\in Z$ – это объединение $\frac{5\pi}{12}+2\pi l, l\in Z$  и  $\frac{17\pi}{12}+2\pi l, l\in Z$),

$\frac{1}{2}+cos(\frac{5\pi}{12}+2\pi l)>0, l\in Z,$ так как $cos\frac{5\pi}{12}>0;$

$\frac{1}{2}+cos(\frac{17\pi}{12}+2\pi l)<0, l\in Z,$ так как $cos\frac{17\pi}{12}>-\frac{1}{2};$

Итак, решение данного уравнения – $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ и $x=\frac{\pi}{6}+4\pi m, m\in Z$.

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[\frac{\pi}{2};2\pi].$

Ответ: 

а) $\frac{5\pi}{6}+2\pi k$, $\frac{\pi}{6}+4\pi m, k, m\in Z$.

б) $\frac{5\pi}{6}.$