Задание №16 (С2) из Т/Р №91 А. Ларина

2016-06-10

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №20.

На боковых ребрах AA_1, BB_1 и CC_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 (AA_1|| BB_1|| CC_1) расположены точки K, L, и M соответственно. Известно, что угол между прямыми  KL и AB равен \frac{\pi}{4}, а угол между прямыми KM и AC\frac{\pi}{3}.

а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и M;

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания ABC.

Решение:

б) Будем искать угол между плоскостями KLM и  ABC, опираясь на формулу S_{proeksia}=S_{sechenie}\cdot cos\alpha, где  \alpha – угол между плоскостями сечения и основания.

В нашем случае S_{ABC}=S_{KLM}\cdot cos\alpha.

Примем сторону основания ABC (правильного треугольника) за a.

Тогда S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.

Найдем площадь треугольника KML. Но прежде найдем все его стороны.

Угол между прямыми KM  и  AC – это угол KMP, где MP||AC.

Угол между прямыми KL  и  AB – это угол KLQ, где LQ||AB.

Из прямоугольного треугольника KMP  (\angle M=60^{\circ}, MP=a): MK=2MP=2a.

Из прямоугольного треугольника KLQ  (\angle L=45^{\circ}, QL=a): KL=a\sqrt2.

Пусть PE||AB, E\in BB_1.

Обратимся к треугольнику MLE: LE=KP-KQ=a\sqrt3-a, ME=a.

Тогда по теореме Пифагора

ML=\sqrt{a^2+a^2(\sqrt3-1)^2}=a\sqrt{5-2\sqrt3}.

По теореме косинусов для треугольника MLK:

ML^2=MK^2+KL^2-2MK\cdot KL\cdot cosMKL;

a^2(5-2\sqrt3)=4a^2+2a^2-4\sqrt2a^2cosMKL;

cosMKL=\frac{1+2\sqrt3}{4\sqrt2};

Тогда  sinMKL=\sqrt{1-(\frac{1+2\sqrt3}{4\sqrt2})^2}=\frac{\sqrt{19-4\sqrt3}}{4\sqrt2}.

Мы готовы вычислить площадь треугольника MKL:

S_{MKL}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot KL\cdot sin MKL;

S_{MKL}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\sqrt2\cdot \frac{\sqrt{19-4\sqrt3}}{4\sqrt2};

S_{MKL}=\frac{a^2\sqrt{19-4\sqrt3}}{4};

Наконец,

cos\alpha=\frac{S_{ABC}}{S_{MKL}}=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{4}}{\frac{a^2\sqrt{19-4\sqrt3}}{4}}=\sqrt{\frac{3}{19-4\sqrt3}}.

\alpha=arccos\sqrt{\frac{3}{19-4\sqrt3}}.

Следует отметить, что возможен и такой случай:

 Рассуждая аналогично, получим, что искомый угол – arccos\sqrt{\frac{3}{19+4\sqrt3}}

Ответ: arccos\sqrt{\frac{3}{19\pm 4\sqrt3}}.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Дима

    А разве не нужно писать то, как построена плоскость?? То есть весь пункт А

    [ Ответить ]
    • egeMax

      А что там писать-то?.. Самый простой случай…

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif