Главная › 16 (С5) Планиметр. задачи › Задание №18 Т/Р №115 А. Ларина

30 Апр 2015

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №115 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-30 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Через вершины $A$ и $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ ( $\angle B=90^{\circ}$ ) проведена окружность с центром в точке $O$ , касающаяся прямой $AB$ и пересекающая продолжение стороны $BC$ в точке $E$ .
а) Докажите, что сумма углов $AOE$ и $AOC$ равна $180^{\circ}$ .
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что $BE=5$ , $AC=6$ .

Решение:

а) Пусть $\angle ACB=\alpha.$ Тогда и $\angle OAC=\alpha$ (так как $AO\parallel BC$ ).

Так как треугольник $AOC$ равнобедренный, то и $\angle OCA=\alpha.$

Из треугольника $AOC:$ $\angle AOC=180^{\circ}-2\alpha.$

Углы $OCE,BCO$ смежные, что влечет за собой $\angle OCE=180^{\circ}-2\alpha.$

Так как треугольник $OCE$ равнобедренный, то и $\angle OEC=180^{\circ}-2\alpha.$

Из треугольника $OCE:$ $\angle COE=4\alpha-180^{\circ}.$

Итак, $\angle AOE+\angle AOC=180^{\circ}-2\alpha+4\alpha-180^{\circ}+180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}.$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $BC=x$ , тогда $CE=5-x.$

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки,

$BA^2=BC\cdot BE.$

Имеем

$AC^2-BC^2=5x;$

$36-x^2=5x;$

$x=4;$

Из треугольника $ABC:$ $cosACB=\frac{2}{3}.$

Пусть $T$ – середина $BC.$

Как мы уже говорили, $\angle ACB=\angle ACO.$

Из треугольника $OCT:$ $cosACO=\frac{3}{OC}$ или $\frac{2}{3}=\frac{3}{OC},$ откуда $OC=4,5.$

Стало быть, диаметр окружности – 9.

Ответ: б) 9.

Автор: egeMax | комментария 3

Печать страницы

комментария 3

Татьяна Евгеньевна Бондаренко

2015-05-07 в 20:16

Уважаемая Елена Юрьевна, позвольте предложить более простое доказательство. ВАОЕ-трапеция и сумма углов АОЕ и СЕО равна 180 градусам. Тогда достаточно доказать, что угол АОС равен углу СЕО, что доказывается просто. Спасибо за внимание.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-07 в 20:37
  
  Татьяна Евгеньевна, спасибо!
  
  [ Ответить ]
SEO PromoRu.net

2015-05-26 в 15:20

Большое спасибо за интересную задачу и за изящное доказательство.

[ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (34)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (94)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы