В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Через вершины и
прямоугольного треугольника
(
) проведена окружность с центром в точке
, касающаяся прямой
и пересекающая продолжение стороны
в точке
.
а) Докажите, что сумма углов и
равна
.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что ,
.
Решение:
а) Пусть Тогда и
(так как
).
Так как треугольник равнобедренный, то и
Из треугольника
Углы смежные, что влечет за собой
Так как треугольник равнобедренный, то и
Из треугольника
Итак,
Что и требовалось доказать.
б) Пусть , тогда
По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки,
Имеем
Из треугольника
Пусть – середина
Как мы уже говорили,
Из треугольника
или
откуда
Стало быть, диаметр окружности – 9.
Ответ: б) 9.
Уважаемая Елена Юрьевна, позвольте предложить более простое доказательство. ВАОЕ-трапеция и сумма углов АОЕ и СЕО равна 180 градусам. Тогда достаточно доказать, что угол АОС равен углу СЕО, что доказывается просто. Спасибо за внимание.
Татьяна Евгеньевна, спасибо!
Большое спасибо за интересную задачу и за изящное доказательство.