Задание №18 Т/Р №115 А. Ларина

2023-07-07

Смотрите также №15№16№17№19№20.
Через вершины $A$ и $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^{\circ}$) проведена окружность с центром в точке $O$, касающаяся прямой $AB$ и пересекающая продолжение стороны $BC$ в точке $E$.
а) Докажите, что сумма углов $AOE$ и $AOC$ равна $180^{\circ}$.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что $BE=5$, $AC=6$.

Решение:

а) Пусть $\angle ACB=\alpha.$ Тогда и $\angle OAC=\alpha$ (так как $AO\parallel BC$).

Так как треугольник $AOC$ равнобедренный, то и $\angle OCA=\alpha.$

Из треугольника $AOC:$    $\angle AOC=180^{\circ}-2\alpha.$

ш

Углы $OCE,BCO$ смежные, что влечет за собой $\angle OCE=180^{\circ}-2\alpha.$

Так как треугольник $OCE$ равнобедренный, то и $\angle OEC=180^{\circ}-2\alpha.$

Из треугольника $OCE:$  $\angle COE=4\alpha-180^{\circ}.$

Итак, $\angle AOE+\angle AOC=180^{\circ}-2\alpha+4\alpha-180^{\circ}+180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}.$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $BC=x$, тогда $CE=5-x.$

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки,

$BA^2=BC\cdot BE.$

Имеем

$AC^2-BC^2=5x;$

$36-x^2=5x;$

$x=4;$

9

Из треугольника $ABC:$ $cosACB=\frac{2}{3}.$

Пусть $T$ – середина $BC.$

Как мы уже говорили, $\angle ACB=\angle ACO.$

Из треугольника $OCT:$  $cosACO=\frac{3}{OC}$ или $\frac{2}{3}=\frac{3}{OC},$ откуда $OC=4,5.$

Стало быть, диаметр окружности – 9.

Ответ: б) 9.

Печать страницы
комментария 3
  1. Татьяна Евгеньевна Бондаренко

    Уважаемая Елена Юрьевна, позвольте предложить более простое доказательство. ВАОЕ-трапеция и сумма углов АОЕ и СЕО равна 180 градусам. Тогда достаточно доказать, что угол АОС равен углу СЕО, что доказывается просто. Спасибо за внимание.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна Евгеньевна, спасибо!

      [ Ответить ]
  2. SEO PromoRu.net

    Большое спасибо за интересную задачу и за изящное доказательство.

    [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




5 + двенадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif