Задание №18 Т/Р №115 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Через вершины $A$ и $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^{\circ}$) проведена окружность с центром в точке $O$, касающаяся прямой $AB$ и пересекающая продолжение стороны $BC$ в точке $E$.
а) Докажите, что сумма углов $AOE$ и $AOC$ равна $180^{\circ}$.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что $BE=5$, $AC=6$.

Решение:

а) Пусть $\angle ACB=\alpha.$ Тогда и $\angle OAC=\alpha$ (так как $AO\parallel BC$).

Так как треугольник $AOC$ равнобедренный, то и $\angle OCA=\alpha.$

Из треугольника $AOC:$    $\angle AOC=180^{\circ}-2\alpha.$

Углы $OCE,BCO$ смежные, что влечет за собой $\angle OCE=180^{\circ}-2\alpha.$

Так как треугольник $OCE$ равнобедренный, то и $\angle OEC=180^{\circ}-2\alpha.$

Из треугольника $OCE:$  $\angle COE=4\alpha-180^{\circ}.$

Итак, $\angle AOE+\angle AOC=180^{\circ}-2\alpha+4\alpha-180^{\circ}+180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}.$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $BC=x$, тогда $CE=5-x.$

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки,

$BA^2=BC\cdot BE.$

Имеем

$AC^2-BC^2=5x;$

$36-x^2=5x;$

$x=4;$

Из треугольника $ABC:$ $cosACB=\frac{2}{3}.$

Пусть $T$ – середина $BC.$

Как мы уже говорили, $\angle ACB=\angle ACO.$

Из треугольника $OCT:$  $cosACO=\frac{3}{OC}$ или $\frac{2}{3}=\frac{3}{OC},$ откуда $OC=4,5.$

Стало быть, диаметр окружности – 9.

Ответ: б) 9.