Задание №18 Т/Р №115 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
Через вершины A и C прямоугольного треугольника ABC (\angle B=90^{\circ}) проведена окружность с центром в точке O, касающаяся прямой AB и пересекающая продолжение стороны BC в точке E.
а) Докажите, что сумма углов AOE и AOC равна 180^{\circ}.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что BE=5, AC=6.

Решение:

а) Пусть \angle ACB=\alpha. Тогда и \angle OAC=\alpha (так как AO\parallel BC).

Так как треугольник AOC равнобедренный, то и \angle OCA=\alpha.

Из треугольника AOC:    \angle AOC=180^{\circ}-2\alpha.

Углы OCE,BCO смежные, что влечет за собой \angle OCE=180^{\circ}-2\alpha.

Так как треугольник OCE равнобедренный, то и \angle OEC=180^{\circ}-2\alpha.

Из треугольника OCE:  \angle COE=4\alpha-180^{\circ}.

Итак, \angle AOE+\angle AOC=180^{\circ}-2\alpha+4\alpha-180^{\circ}+180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть BC=x, тогда CE=5-x.

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки,

BA^2=BC\cdot BE.

Имеем

AC^2-BC^2=5x;

36-x^2=5x;

x=4;

Из треугольника ABC: cosACB=\frac{2}{3}.

Пусть T – середина BC.

Как мы уже говорили, \angle ACB=\angle ACO.

Из треугольника OCT:  cosACO=\frac{3}{OC} или \frac{2}{3}=\frac{3}{OC}, откуда OC=4,5.

Стало быть, диаметр окружности – 9.

Ответ: б) 9.

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Татьяна Евгеньевна Бондаренко

    Уважаемая Елена Юрьевна, позвольте предложить более простое доказательство. ВАОЕ-трапеция и сумма углов АОЕ и СЕО равна 180 градусам. Тогда достаточно доказать, что угол АОС равен углу СЕО, что доказывается просто. Спасибо за внимание.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна Евгеньевна, спасибо!

      [ Ответить ]
  2. SEO PromoRu.net

    Большое спасибо за интересную задачу и за изящное доказательство.

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif