Задание №20 (С5) из Т/Р №91 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18

Найдите все значения $a$, при каждом из которых функция $f(x)=||x|-2|-ax+8a$ принимает значение, равное 2, в двух различных точках.

Решение:

Найдем все значения $a$, при которых уравнение $||x|-2|=ax-8a+2$ имеет два различных решения.

Привожу лишь краткое решение. 

График левой части:

График правой части – семейство прямых, проходящих через точку $(8;2):$

При тех $a$, что отвечают  за расположение прямых $h(x)=a(x-8)+2$ внутри зоны, выделенной на рисунке зеленым цветом, графики $g(x)$ и $h(x)$ пересекаются в двух различных точках.

Несложно найти значения $a$, отвечающие за расположение прямых $h(x)=a(x-8)+2$ на границах выделенной зоны.

Например, когда прямая $h(x)=a(x-8)+2$ проходит через точку $A(2;0)$ значение $a$ будет равно $\frac{1}{3}$, так как $0=a(2-8)+2$ (подставили координаты точки $A$ в $h(x)=a(x-8)+2$).

Опускаем подробности. Приходим к тому, что устраивающие нас значения $a$ таковы:

$(-1;0)\cup(\frac{1}{5};\frac{1}{3}).$

Ответ: $(-1;0)\cup(\frac{1}{5};\frac{1}{3}).$