Задание №17 (С3) Т/Р №97 А. Ларина

Решите неравенство: $log_3(x+6)\leq (1-log_{9x}(6-x))\cdot log_3(9x).$

Решение:

$log_3(x+6)\leq (1-log_{9x}(6-x))\cdot log_3(9x);$

Производим раскрытие скобок в левой части неравенства:

$log_3(x+6)\leq log_3(9x)-log_{9x}(6-x)\cdot log_3(9x);$

Применяем свойство №7 логарифмов ко второму слагаемому левой части неравенства:

$log_3(x+6)\leq log_3(9x)-log_3(6-x);$

Применяем свойство №4 логарифмов к левой части неравенства, следя за равносильностью переходов (достаточно указать что-то одно – либо $9x>0$, либо $6-x>0$):

$\begin{cases}log_3(x+6)\leq log_3\frac{9x}{6-x},\\x>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x+6\leq \frac{9x}{6-x},\\x>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{9x-(6+x)(6-x)}{6-x}\geq 0,\\x>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{x^2+9x-36}{6-x}\geq 0,\\x>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{(x-3)(x+12)}{6-x}\geq 0,\\x>0;&\end{cases}$

$x\in [3;6).$

Ответ: $[3;6).$