Задание №15 Т/Р №213 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$xlog_2\frac{x}{2}+log_x4\leq 2.$

Решение:

$xlog_2\frac{x}{2}+log_x4\leq 2;$

$x(log_2x-1)+\frac{2}{log_2x}\leq 2;$

$\frac{xlog_2x(log_2x-1)+2-2log_2x}{log_2x}\leq 0;$

$\frac{(log_2x-1)(xlog_2x-2)}{log_2x}\leq 0;$

$\frac{x(log_2x-1)(log_2x-\frac{2}{x})}{log_2x}\leq 0;$

Функция $y=log_2x$ – возрастающая, $y=\frac{2}{x}$ – убывающая при $x>0.$ Если разность $log_2x-\frac{2}{x}$ и обращается в ноль, то только при одном значении $x.$ Очевидно, $log_2x-\frac{2}{x}=0$ при $x=2.$ Причем при $x>2$  $log_2x-\frac{2}{x}>0,$ а при $x<2$  $log_2x-\frac{2}{x}<0.$ Поэтому в неравенстве множитель $(log_2x-\frac{2}{x})$ может быть заменен на $(x-2).$

$\frac{x(log_2x-log_22)(log_2x-\frac{2}{x})}{log_2x-log_21}\leq 0;$

Используя метод замены множителей, получаем:

$\frac{x(x-2)(x-2)}{x-1}\leq 0,$  $x>0;$

$\frac{x(x-2)^2}{x-1}\leq 0,$  $x>0;$

$x\in (0;1)\cup$ {$2$}.

Ответ: $(0;1)\cup$ {$2$}.