Главная › 18 (С7) Числа, их свойства › Задание №19 Т/Р №213 А. Ларина

30 Ноя 2017

Категория: 18 (С7) Числа, их свойстваТ/P A. Ларина

Задание №19 Т/Р №213 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-30 2017-12-13

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

19. Пусть $S(N)$ – сумма цифр натурального числа $N$ .

а) Может ли $N+S(N)$ равняться $96$ ?

б) Может ли $N+S(N)$ равняться $97$ ?
в) Найдите все $N$ , для которых $N+S(N) = 2017.$

Решение:

a) $N+S(N)=96.$

Число $N$ – двузначное.

Пусть $N=10a_1+a_2.$

Имеем

$10a_1+a_2+a_1+a_2=96;$

$11a_1+2a_2=96;$

$a_1=2k,$ тогда $11k+a_2=48;$

Пусть $k=4$ , следовательно $a_2=4.$

Итак, $N=84.$

б) Допустим, $N+S(N)=97.$

$N=10a_1+a_2.$

Имеем:

$10a_1+a_2+a_1+a_2=97;$

$11a_1+2a_2=97;$

$11a_1+2a_2=99-2;$

$11(9-a_1)=2(a_2+1).$

Правая часть $2(a_2+1)$ кратна $11,$ тогда сумма $a_2+1$ кратна $11,$ что невозможно.

$N+S(N)$ не может равняться $97.$

в) $N+S(N) = 2017.$

Число $N$ – четырехзначное.

Пусть $N=1000a_1+100a_2+10a_3+a_4.$

Имеем

$1000a_1+100a_2+10a_3+a_4+a_1+a_2+a_3+a_4=2017;$

$1001a_1+101a_2+11a_3+2a_4=2017;$

1) Если $a_1=1,$ то

$101a_2+11a_3+2a_4=1016.$

Поскольку $11a_3+2a_4\leq 99+18=117,$ то $1016\leq 101a_1+117,$ откуда $a_2\geq \frac{899}{101},$ то есть $a_2=9.$

При $a_2=9$ имеем

$11a_3+2a_4=107.$

Поскольку $2a_4\leq 18,$ то $107\leq 11a_3+18,$ откуда $a_3\geq \frac{89}{11},$ то есть $a_3=9.$ Далее, $a_4=4.$

Для $N=1994$

$S+S(N)=1994+1+9+9+4=2017.$

2) Если $a_1=2,$ то

$101a_2+11a_3+2a_4=15.$

Очевидно, $a_2=0,$ тогда $11a_3+2a_4=15.$ Далее, $a_3=1,a_4=2.$

Для $N=2012$

$S+S(N)=2012+2+0+1+2=2017.$

$a_1$ быть большим $2$ не может.

Все возможные случаи рассмотрены.

Ответ: a) да; б) нет; в) $1994;2012.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (30)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы