Задание №19 Т/Р №213 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

19. Пусть $S(N)$ – сумма цифр натурального числа $N$.

а) Может ли $N+S(N)$ равняться $96$?

б) Может ли $N+S(N)$ равняться $97$?
в) Найдите все $N$, для которых $N+S(N) = 2017.$

Решение:

a) $N+S(N)=96.$

Число $N$ – двузначное.

Пусть $N=10a_1+a_2.$

Имеем

$10a_1+a_2+a_1+a_2=96;$

$11a_1+2a_2=96;$

$a_1=2k,$  тогда $11k+a_2=48;$

Пусть $k=4$, следовательно $a_2=4.$

Итак, $N=84.$

б) Допустим, $N+S(N)=97.$

$N=10a_1+a_2.$

Имеем:

$10a_1+a_2+a_1+a_2=97;$

$11a_1+2a_2=97;$

$11a_1+2a_2=99-2;$

$11(9-a_1)=2(a_2+1).$

Правая часть $2(a_2+1)$ кратна $11,$ тогда сумма $a_2+1$ кратна $11,$ что невозможно.

$N+S(N)$ не может равняться $97.$

в) $N+S(N) = 2017.$

Число $N$ – четырехзначное.

Пусть $N=1000a_1+100a_2+10a_3+a_4.$

Имеем

$1000a_1+100a_2+10a_3+a_4+a_1+a_2+a_3+a_4=2017;$

$1001a_1+101a_2+11a_3+2a_4=2017;$

1) Если $a_1=1,$ то

$101a_2+11a_3+2a_4=1016.$

Поскольку $11a_3+2a_4\leq 99+18=117,$ то $1016\leq 101a_1+117,$ откуда $a_2\geq \frac{899}{101},$ то есть $a_2=9.$

При $a_2=9$ имеем

$11a_3+2a_4=107.$

Поскольку $2a_4\leq 18,$ то $107\leq 11a_3+18,$ откуда $a_3\geq \frac{89}{11},$ то есть $a_3=9.$  Далее, $a_4=4.$

Для  $N=1994$

$S+S(N)=1994+1+9+9+4=2017.$

2) Если $a_1=2,$ то

$101a_2+11a_3+2a_4=15.$

Очевидно, $a_2=0,$ тогда $11a_3+2a_4=15.$ Далее, $a_3=1,a_4=2.$

Для  $N=2012$

$S+S(N)=2012+2+0+1+2=2017.$

$a_1$ быть большим $2$ не может.

Все возможные случаи рассмотрены.

Ответ: a) да; б) нет; в) $1994;2012.$