Задание №14 Т/Р №223 А. Ларина

2018-02-07

Смотрите также №13; №15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

14. На боковых ребрах DB и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки M и N так, что BM=MD и CN:ND=2:3. Через вершину A основания пирамиды и точки M и N проведена плоскость  \alpha, пересекающая медианы боковых граней, проведенных из вершины D, в точках K,R и T.
а) Докажите, что площадь треугольника KTR составляет \frac{5}{22} от площади сечения пирамиды плоскость \alpha.

б) Найти отношение объемов пирамид KRTC и ABCD.

Решение:

а) Пусть Q,E,F – середины AC,AB,BC соответственно.

K\in AN,R\in AM,T\in MN.

Найдем, в каких отношениях точки K,R,T делят отрезки AN,AM,NM.

Рассмотрим треугольник ADC. Пусть NL\parallel DQ,L\in AC. Согласно условию DN:NC=3:2, тогда по теореме о пропорциональных отрезках и QL:LC=3:2. ПустьQL=3y,LC=2y. Тогда AQ=5y.

Стало быть, AK:KN=AQ:QL=5:3

Рассмотрим треугольник CDB. Пусть NS\parallel DF\parallel MW,S\in BC,W\in BC. Согласно условию DN:NC=3:2, тогда по теореме о пропорциональных отрезках и SF:CS=3:2. ПустьSF=3n,CS=2n. Тогда FB=5n. Далее, DM:MB=FW:WB=1:1, то есть FW=WB=2,5n.

Стало быть, NO:OM=SF:FW=3:2,5=6:5.

Точка R – точка пересечения медиан треугольника ABD, AR:RM=2:1.

Пусть S – площадь треугольника AMN.

S_{KTN}=\frac{KN\cdot TN\cdot sin N}{2}=\frac{\frac{3AN}{8}\cdot \frac{6NM}{11}\cdot sin N}{2}=\frac{9S}{44}.

S_{ARK}=\frac{5S}{12}.

S_{RMT}=\frac{5S}{33}.

Тогда

S_{KRT}=S-\frac{9S}{44}-\frac{5S}{12}-\frac{5S}{33}=\frac{5S}{22}.

б) Воспользуемся теоремой:

Объемы тетраэдров имеющих общий  трехгранный угол, относятся как произведения  ребер содержащих этот угол  (Доказательство можно посмотреть здесь).

Тогда V_{AMND}:V_{ABCD}=(1\cdot 3\cdot 1):(1\cdot 5\cdot 2)=3:10.

Далее, V_{KTRD}=\frac{5}{22}V_{AMND}=\frac{3}{44}V_{ABCD}.

Наконец, учитывая, что V_{KRTC}=\frac{2}{3}V_{KRTD} (точки D и C удалены от плоскости  AMN на расстояния, связанные отношением 3:2), получаем

V_{KRTC}:V_{ABCD}=1:22.

Ответ: б) 1:22.

Печать страницы
комментария 2
  1. Ирина

    Помогите разобраться, где допускаю ошибку. У меня в каждой площади знаменатель вдвое больше. Площадь КТN=9S/88. и т.д.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ‍ Боюсь, не видя вашего решения, не смогу указать на ошибку… сверяйтесь с предложенным решением по каждому основному пункту…
      Возможно, вы теряете 1/2 из формулы площади треугольника… //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

три × четыре =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif