Задание №14 Т/Р №223 А. Ларина

[latexpage]Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

14. На боковых ребрах $DB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MD$ и $CN:ND=2:3.$ Через вершину $A$ основания пирамиды и точки $M$ и $N$ проведена плоскость  $\alpha,$ пересекающая медианы боковых граней, проведенных из вершины $D,$ в точках $K,R$ и $T.$
а) Докажите, что площадь треугольника $KTR$ составляет $\frac{5}{22}$ от площади сечения пирамиды плоскость $\alpha.$

б) Найти отношение объемов пирамид $KRTC$ и $ABCD.$

Решение:

а) Пусть $Q,E,F$ – середины $AC,AB,BC$ соответственно.

$K\in AN,R\in AM,T\in MN.$

Найдем, в каких отношениях точки $K,R,T$ делят отрезки $AN,AM,NM.$

Рассмотрим треугольник $ADC.$ Пусть $NL\parallel DQ,L\in AC.$ Согласно условию $DN:NC=3:2,$ тогда по теореме о пропорциональных отрезках и $QL:LC=3:2.$ Пусть$QL=3y,LC=2y.$ Тогда $AQ=5y.$

Стало быть, $AK:KN=AQ:QL=5:3$

Рассмотрим треугольник $CDB.$ Пусть $NS\parallel DF\parallel MW,S\in BC,W\in BC.$ Согласно условию $DN:NC=3:2,$ тогда по теореме о пропорциональных отрезках и $SF:CS=3:2.$ Пусть$SF=3n,CS=2n.$ Тогда $FB=5n.$ Далее, $DM:MB=FW:WB=1:1,$ то есть $FW=WB=2,5n.$

Стало быть, $NO:OM=SF:FW=3:2,5=6:5.$

Точка $R$ – точка пересечения медиан треугольника $ABD,$ $AR:RM=2:1.$

Пусть $S$ – площадь треугольника $AMN.$

$S_{KTN}=\frac{KN\cdot TN\cdot sin N}{2}=\frac{\frac{3AN}{8}\cdot

\frac{6NM}{11}\cdot sin N}{2}=\frac{9S}{44}.$

$S_{ARK}=\frac{5S}{12}.$

$S_{RMT}=\frac{5S}{33}.$

Тогда

$S_{KRT}=S-\frac{9S}{44}-\frac{5S}{12}-\frac{5S}{33}=\frac{5S}{22}.$

б) Воспользуемся теоремой:

Объемы тетраэдров имеющих общий  трехгранный угол, относятся как произведения  ребер содержащих этот угол  (Доказательство можно посмотреть здесь).

Тогда $V_{AMND}:V_{ABCD}=(1\cdot 3\cdot 1):(1\cdot 5\cdot 2)=3:10.$

Далее, $V_{KTRD}=\frac{5}{22}V_{AMND}=\frac{3}{44}V_{ABCD}.$

Наконец, учитывая, что $V_{KRTC}=\frac{2}{3}V_{KRTD}$ (точки $D$ и $C$ удалены от плоскости  $AMN$ на расстояния, связанные отношением $3:2$), получаем

$V_{KRTC}:V_{ABCD}=1:22.$

Ответ: б) $1:22.$