Задание №14 Т/Р №202 А. Ларина

2017-09-14

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 AB=2,AD=1, AA_1=3. Точка K лежит на ребре CC_1 так, что CK:C_1K=5:4.
а) Докажите, что прямые DB_1  и D_1K перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки D_1 до плоскости KA_1D.

Решение:

а) Введем систему координат  (xyz)  (D – начало координат)  так как показано на рисунке:

 

Перечислим координаты необходимых для решения точек:

D(0;0;0),D_1(0;0;3),K(0;2;\frac{5}{3}),B_1(1;2;3).

Тогда \vec{D_1K}(0;2;-\frac{4}{3}), \vec{DB_1}(1;2;3).

Замечаем, что \vec{D_1K}\cdot \vec{DB_1}=0, действительно, 0\cdot 1+2\cdot 2-\frac{4}{3}\cdot 3=0. Тогда прямые DB_1  и D_1K перпендикулярны.

б) Расстояние  \rho от точки D_1 до плоскости (KA_1D) будем вычислять по формуле

\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

где (x_0;y_0;z_0) – координаты точки D_1, плоскость (KA_1D) задается уравнением Ax+By+Cz+D=0.

Составим уравнение плоскости (KA_1D). Для чего подставляем поочередно координаты точек D(0;0;0),A_1(1;0;3),K(0;2;\frac{5}{3}) в уравнение ax+by+cz+d=0.

\begin{cases} d=0,& &a+3c+d=0,& &2b+\frac{5}{3}c+d=0;& \end{cases}

\begin{cases} d=0,& &a=-3c,& &b=-\frac{5}{6}c.& \end{cases}

Итак, уравнение плоскости (KA_1D):

-3c\cdot x-\frac{5}{6}c\cdot y+cz=0;

18x+5y-6=0,

где A=18,B=5,C=-6.

Наконец,

\rho=\frac{|18\cdot 0+5\cdot 0-6\cdot 3|}{\sqrt{18^2+5^2+(-6)^2}}=\frac{18}{\sqrt{385}}.

Ответ: б) \frac{18}{\sqrt{385}}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 × один =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif