Задание №14 Т/Р №202 А. Ларина

Елена Репина 2017-09-14 2017-09-14

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=2,AD=1, AA_1=3.$ Точка $K$ лежит на ребре $CC_1$ так, что $CK:C_1K=5:4.$
а) Докажите, что прямые $DB_1$ и $D_1K$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $KA_1D$ .

Решение:

а) Введем систему координат $(xyz)$ ( $D$ – начало координат) так как показано на рисунке:

Перечислим координаты необходимых для решения точек:

$D(0;0;0),D_1(0;0;3),K(0;2;\frac{5}{3}),B_1(1;2;3).$

Тогда $\vec{D_1K}(0;2;-\frac{4}{3}),$ $\vec{DB_1}(1;2;3).$

Замечаем, что $\vec{D_1K}\cdot \vec{DB_1}=0,$ действительно, $0\cdot 1+2\cdot 2-\frac{4}{3}\cdot 3=0.$ Тогда прямые $DB_1$ и $D_1K$ перпендикулярны.

б) Расстояние $\rho$ от точки $D_1$ до плоскости $(KA_1D)$ будем вычислять по формуле

$\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

где $(x_0;y_0;z_0)$ – координаты точки $D_1$ , плоскость $(KA_1D)$ задается уравнением $Ax+By+Cz+D=0.$

Составим уравнение плоскости $(KA_1D)$ . Для чего подставляем поочередно координаты точек $D(0;0;0),A_1(1;0;3),K(0;2;\frac{5}{3})$ в уравнение $ax+by+cz+d=0.$