Задание №14 Т/Р №202 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=2,AD=1, AA_1=3.$ Точка $K$ лежит на ребре $CC_1$ так, что $CK:C_1K=5:4.$
а) Докажите, что прямые $DB_1$  и $D_1K$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $KA_1D$.

Решение:

а) Введем систему координат  $(xyz)$  ($D$ – начало координат)  так как показано на рисунке:

Перечислим координаты необходимых для решения точек:

$D(0;0;0),D_1(0;0;3),K(0;2;\frac{5}{3}),B_1(1;2;3).$

Тогда $\vec{D_1K}(0;2;-\frac{4}{3}),$ $\vec{DB_1}(1;2;3).$

Замечаем, что $\vec{D_1K}\cdot \vec{DB_1}=0,$ действительно, $0\cdot 1+2\cdot 2-\frac{4}{3}\cdot 3=0.$ Тогда прямые $DB_1$  и $D_1K$ перпендикулярны.

б) Расстояние  $\rho$ от точки $D_1$ до плоскости $(KA_1D)$ будем вычислять по формуле

$\large \rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

где $(x_0;y_0;z_0)$ – координаты точки $D_1$, плоскость $(KA_1D)$ задается уравнением $Ax+By+Cz+D=0.$

Составим уравнение плоскости $(KA_1D)$. Для чего подставляем поочередно координаты точек $D(0;0;0),A_1(1;0;3),K(0;2;\frac{5}{3})$ в уравнение $ax+by+cz+d=0.$

$\begin{cases}d=0,\\a+3c+d=0,\\2b+\frac{5}{3}c+d=0;&\end{cases}$

$\begin{cases}d=0,\\a=-3c,\\b=-\frac{5}{6}c.&\end{cases}$

Итак, уравнение плоскости $(KA_1D)$:

$-3c\cdot x-\frac{5}{6}c\cdot y+cz=0;$

$18x+5y-6=0,$

где $A=18,B=5,C=-6.$

Наконец,

$\large\rho=\frac{|18\cdot 0+5\cdot 0-6\cdot 3|}{\sqrt{18^2+5^2+(-6)^2}}=\frac{18}{\sqrt{385}}.$

Ответ: б) $\frac{18}{\sqrt{385}}.$