Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.
14. Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно .
Решение:
a) Пусть шар с центром в точке касается граней
,
соответственно шар с центром в точке касается граней
Так как первый шар касается граней то его центр
равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром
то есть на плоскости
(с учетом того, что
– куб).
Так первый шар касается граней то его центр
равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром
то есть на плоскости
(с учетом того, что
– куб).
Но тогда точка лежит на прямой пересечения плоскостей
то есть на
(естественно, раз шар находится внутри куба, то
– точка отрезка
).
Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что и точка лежит на отрезке
б) Очевидно,
Очевидно, в силу симметрии, и
где
– радиусы шаров.
Пусть, например, – точка касания второго шара с гранью
(
принадлежит
).
Треугольники подобны по двум углам, тогда
Ответ:
Добавить комментарий