Задание №14 Т/Р №209 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

14. Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно  $13$.

Решение:

a) Пусть шар с центром в точке $O_1$ касается граней $ABCD,AA_1D_1D,AA_1B_1B$,

соответственно шар с центром в точке $O_2$ касается граней $A_1B_1C_1D_1,BB_1C_1C,DD_1C_1C.$

Так  как первый шар касается граней $AA_1B_1B,AA_1D_1D,$ то его центр $O_1$ равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром $AA_1,$ то есть на плоскости $AA_1C_1C$ (с учетом того, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – куб).

Так первый шар касается граней $ABCD,AA_1D_1D,$ то его центр $O_1$ равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром $AD,$ то есть на плоскости $AB_1C_1D$ (с учетом того, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – куб).

Но тогда точка $O_1$ лежит на прямой пересечения плоскостей $AA_1C_1C,AB_1C_1D,$ то есть на $AC_1$ (естественно, раз шар находится внутри куба, то $O_1$ – точка отрезка $AC_1$).

Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что и точка $O_2$ лежит на отрезке $AC_1.$

б) Очевидно, $A_1C_1=13\sqrt2,$  $AC_1=13\sqrt3.$

Очевидно, в силу симметрии, $AO_1=C_1O_2$  и $AO_1=C_1O_2=\frac{13\sqrt3-2r}{2},$ где $r$ – радиусы шаров.

Пусть, например, $K_2$ – точка касания второго шара с гранью $A_1B_1C_1D_1$ ($K_2$ принадлежит $A_1C_1$).

Треугольники $AA_1C_1,O_2K_2C_1$ подобны по двум углам, тогда

$\frac{AA_1}{O_2K_2}=\frac{AC_1}{O_2C_1};$

$\frac{13}{r}=\frac{13\sqrt2}{\frac{13\sqrt3-2r}{2}};$

$\frac{1}{r}=\frac{2\sqrt2}{13\sqrt3-2r};$

$2\sqrt2 r=13\sqrt3-2r;$

$r(2\sqrt2+2)=13\sqrt3;$

$r=\frac{13\sqrt3}{2\sqrt2+2}.$

Ответ: $\frac{13\sqrt3}{2\sqrt2+2}.$