Задание №14 Т/Р №209 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-02 2017-11-05

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

14. Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно $13$ .

Решение:

a) Пусть шар с центром в точке $O_1$ касается граней $ABCD,AA_1D_1D,AA_1B_1B$ ,

соответственно шар с центром в точке $O_2$ касается граней $A_1B_1C_1D_1,BB_1C_1C,DD_1C_1C.$

Так как первый шар касается граней $AA_1B_1B,AA_1D_1D,$ то его центр $O_1$ равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром $AA_1,$ то есть на плоскости $AA_1C_1C$ (с учетом того, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – куб).

Так первый шар касается граней $ABCD,AA_1D_1D,$ то его центр $O_1$ равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром $AD,$ то есть на плоскости $AB_1C_1D$ (с учетом того, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – куб).

Но тогда точка $O_1$ лежит на прямой пересечения плоскостей $AA_1C_1C,AB_1C_1D,$ то есть на $AC_1$ (естественно, раз шар находится внутри куба, то $O_1$ – точка отрезка $AC_1$ ).