Задание №14 Т/Р №209 А. Ларина

2017-11-05

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

14. Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно  13.

Решение:

a) Пусть шар с центром в точке O_1 касается граней ABCD,AA_1D_1D,AA_1B_1B,

соответственно шар с центром в точке O_2 касается граней A_1B_1C_1D_1,BB_1C_1C,DD_1C_1C.

Так  как первый шар касается граней AA_1B_1B,AA_1D_1D, то его центр O_1 равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром AA_1, то есть на плоскости AA_1C_1C (с учетом того, что ABCDA_1B_1C_1D_1 – куб).

Так первый шар касается граней ABCD,AA_1D_1D, то его центр O_1 равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром AD, то есть на плоскости AB_1C_1D (с учетом того, что ABCDA_1B_1C_1D_1 – куб).

Но тогда точка O_1 лежит на прямой пересечения плоскостей AA_1C_1C,AB_1C_1D, то есть на AC_1 (естественно, раз шар находится внутри куба, то O_1 – точка отрезка AC_1).

Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что и точка O_2 лежит на отрезке AC_1.

б) Очевидно, A_1C_1=13\sqrt2,  AC_1=13\sqrt3.

Очевидно, в силу симметрии, AO_1=C_1O_2  и AO_1=C_1O_2=\frac{13\sqrt3-2r}{2}, где r – радиусы шаров.

Пусть, например, K_2 – точка касания второго шара с гранью A_1B_1C_1D_1 (K_2 принадлежит A_1C_1).

Треугольники AA_1C_1,O_2K_2C_1 подобны по двум углам, тогда

\frac{AA_1}{O_2K_2}=\frac{AC_1}{O_2C_1};

\frac{13}{r}=\frac{13\sqrt2}{\frac{13\sqrt3-2r}{2}};

\frac{1}{r}=\frac{2\sqrt2}{13\sqrt3-2r};

2\sqrt2 r=13\sqrt3-2r;

r(2\sqrt2+2)=13\sqrt3;

r=\frac{13\sqrt3}{2\sqrt2+2}.

Ответ: \frac{13\sqrt3}{2\sqrt2+2}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

девять + четыре =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif