Задание №15 Т/Р №111 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.

Дано уравнение $log_{-cosx}2\cdot log_2(sinx)=2$

а) Решите уравнение;

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{17\pi}{6};\frac{19\pi}{4}]$.

Решение:

a)

$\frac{1}{log_2(-cosx)}\cdot log_2(sinx)=2;$

$\begin{cases}log_2(sinx)=2log_2(-cosx),\\cosx\neq -1;&\end{cases}$

$\begin{cases}log_2(sinx)=log_2(-cosx)^2,\\cosx\neq -1,\\cosx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}sinx=cos^2x,\\cosx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}sin^2x+sinx-1=0,\\cosx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}sinx=\frac{\sqrt5-1}{2},\\cosx<0;&\end{cases}$

$x=\pi -arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n, n\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[\frac{17\pi}{6};\frac{19\pi}{4}]$.

Сравним $\frac{\sqrt5-1}{2}$ и $\frac{\sqrt2}{2}:$

Предположим,

$\frac{\sqrt5-1}{2}<\frac{\sqrt2}{2};$

$\sqrt5-1<\sqrt2;$

$\sqrt5-\sqrt2<1;$

$7-2\sqrt{10}<1;$

$6<2\sqrt{10};$

$\sqrt{36}<\sqrt{40}$ – верно.

Тогда  $\frac{1}{2}<\frac{\sqrt5-1}{2}<\frac{\sqrt2}{2}$.

Стало быть (см. рис.),   нет корней уравнения, входящих в указанный отрезок.

Ответ: 

а) $\pi -arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n, n\in Z;$

б) –