Задание №19 Т/Р №111 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20
Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определите число землекопов в каждой бригаде, если известно, что производительность у землекопов одинакова.

Решение:

Пусть  I  бригада вырыла котлован за $x$ часов, тогда вторая бригада вырыла котлован за $x+0,5$ часов.

Производительность $n$ рабочих I-ой бригады – $\frac{1}{x},$

$m$ рабочих II-oй бригады – $\frac{1}{x+0,5}.$

Тогда производительность одного рабочего $\frac{1}{nx}$ с одной стороны и $\frac{1}{m(x+0,5)}$ с другой стороны.

Откуда $\frac{1}{nx}=\frac{1}{m(x+0,5)},$ то есть $nx=m(x+0,5).$

Далее, очевидно, производительность $n+5$ рабочиx – $\frac{n+5}{nx}.$

$n+5$ рабочих I-ой бригады выроют котлован за $\frac{nx}{n+5}$ часов, что на $2$ часа меньше, чем $x.$

Тогда $\frac{nx}{n+5}+2=x.$

Итак, перед нами система:

$\begin{cases}nx=m(x+0,5),\\\frac{nx}{n+5}+2=x;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{0,5m}{n-m},\\\frac{n\frac{0,5m}{n-m}}{n+5}+2=\frac{0,5m}{n-m};&\end{cases}$

Следовательно,

$0,5mn+2(n-m)(n+5)=0,5m(n+5);$

 $4n^2+20n-4mn-25m=0;$

$m=\frac{4n^2+20n}{4n+25};$

$m=\frac{n(4n+25)-5n}{4n+25};$

$m=n-\frac{5n}{4n+25};$

Решая уравнение в натуральных числах (при том, что $m<n$), замечаем, что  $5n=(4n+25)k, k\in N$.

При $k=1$ имеем: $5n=4n+25,$ то есть $n=25.$ Тогда $m=24.$

Если $k\geq 2,$ то $5n\geq 8n+50$ (то есть $3n\leq -\frac{50}{3}$). Противоречие.

Ответ: 25; 24.