Задание №19 Т/Р №111 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15№16№17№18№20.
Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определите число землекопов в каждой бригаде, если известно, что производительность у землекопов одинакова.

Решение:

Пусть  I  бригада вырыла котлован за x часов, тогда вторая бригада вырыла котлован за x+0,5 часов.

Производительность n рабочих I-ой бригады – \frac{1}{x},

m рабочих II-oй бригады – \frac{1}{x+0,5}.

Тогда производительность одного рабочего \frac{1}{nx} с одной стороны и \frac{1}{m(x+0,5)} с другой стороны.

Откуда \frac{1}{nx}=\frac{1}{m(x+0,5)}, то есть nx=m(x+0,5).

Далее, очевидно, производительность n+5 рабочиx – \frac{n+5}{nx}.

n+5 рабочих I-ой бригады выроют котлован за \frac{nx}{n+5} часов, что на 2 часа меньше, чем x.

Тогда \frac{nx}{n+5}+2=x.

Итак, перед нами система:

 \begin{cases} nx=m(x+0,5),& &\frac{nx}{n+5}+2=x;& \end{cases}

 \begin{cases} x=\frac{0,5m}{n-m},& &\frac{n\frac{0,5m}{n-m}}{n+5}+2=\frac{0,5m}{n-m};& \end{cases}

Следовательно,

0,5mn+2(n-m)(n+5)=0,5m(n+5);

 4n^2+20n-4mn-25m=0;

m=\frac{4n^2+20n}{4n+25};

m=\frac{n(4n+25)-5n}{4n+25};

m=n-\frac{5n}{4n+25};

Решая уравнение в натуральных числах (при том, что m<n), замечаем, что  5n=(4n+25)k, k\in N.

При k=1 имеем: 5n=4n+25, то есть n=25. Тогда m=24.

Если k\geq 2, то 5n\geq 8n+50 (то есть 3n\leq -\frac{50}{3}). Противоречие.

Ответ: 25; 24.

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Анна

    Елена Юрьевна, подскажите, пожалуйста, как определяется кратность выражения 4n+25. Просто методом подбора или есть какая-то теория? Если есть, что именно тогда нужно искать, чтобы почитать теорию?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Переписала решение несколько короче. Думаю, теперь не должно быть вопросов…
      Теорию можно, например, здесь посмотреть.

      [ Ответить ]
  2. Анна

    Огромное спасибо!

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif