02 Апр 2015

Категория: 15 (С3) НеравенстваИррациональные выражения, уравнения и неравенстваТ/P A. Ларина

Задание №17 Т/Р №111 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-02 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство:

$(x+3)(x+1)+3(x+3)\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}+2\leq 0.$

Решение:

$(x+3)(x+1)+3(x+3)\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}+2\leq 0;$

Заметим, $\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+3}}$ , если $x\in [-1;+\infty)$ и $\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}=\frac{\sqrt{-x-1}}{\sqrt{-x-3}}$ , если $x\in (-\infty;-3).$

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} x\geq-1,& &(\sqrt{x+3}\sqrt{x+1})^2+3\sqrt{x+3}\sqrt{x+1}+2\leq 0;& \end{cases}& \begin{cases} x<-3,& &(\sqrt{-x-3}\sqrt{-x-1})^2-3\sqrt{-x-3}\sqrt{-x-1}+2\leq 0;& \end{cases}& \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} x\geq-1,& &(\sqrt{x+3}\sqrt{x+1}+2)(\sqrt{x+3}\sqrt{x+1}+1)\leq 0;& \end{cases}& \begin{cases} x<-3,& &(\sqrt{-x-3}\sqrt{-x-1}-2)(\sqrt{-x-3}\sqrt{-x-1}-1)\leq 0;& \end{cases}& \end{gathered}\right&$

Первая система совокупности не имеет решений.

$\begin{cases} x<-3,& &(\sqrt{-x-3}\sqrt{-x-1}-2)(\sqrt{-x-3}\sqrt{-x-1}-1)\leq 0;& \end{cases}$

$\begin{cases} x<-3,& &1\leq \sqrt{-x-3}\sqrt{-x-1}\leq 2;& \end{cases}$

$\begin{cases} x<-3,& &1\leq (-x-3)(-x-1)\leq 4;& \end{cases}$

$\begin{cases} x<-3,& &1\leq x^2+4x+3\leq 4;& \end{cases}$

$\begin{cases} x<-3,& &x^2+4x+2\geq 0,& &x^2+4x-1\leq 0;& \end{cases}$

$\begin{cases} x<-3,& &(x-(-2-\sqrt2))(x-(-2+\sqrt2))\geq 0,& &(x-(-2-\sqrt5))(x-(-2+\sqrt5))\leq 0;& \end{cases}$

$x\in [-2-\sqrt5;-2-\sqrt2].$

Ответ: $[-2-\sqrt5;-2-\sqrt2].$

Автор: egeMax | Комментариев: 5

Печать страницы

Комментариев: 5

петя

2016-11-01 в 09:04

Здравствуйте! Не могли бы подсказать, как получилась первая совокупность? Откуда взялись корни и квадраты? И откуда во второй совокупности взялись +2 и +1?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-11-01 в 09:27
  
  1)Совокупность появляется в силу того, что мы рассматриваем ДВЕ ситуации. Или одно, или другое!
  2)Что есть $(\sqrt a)^2$ ?
  3)квадратный трёхчлен относительно $\sqrt {}\cdot \sqrt {}$ разложен на множители через дискриминант, – оттуда и +2,+1.
  
  [ Ответить ]
  - петя
    
    2016-11-01 в 14:44
    
    но разве корень возведенный в квадрат – это не модуль?
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-11-01 в 15:59
      
      Вы путаете.
      $(\sqrt a)^2=a$
      $\sqrt {a^2}=|a|$
      
      [ Ответить ]
      - петя
        
        2016-11-01 в 16:02
        
        понял, большое спасибо!)
        
        [ Ответить ]

Добавить комментарий