Главная › 16 (С5) Планиметр. задачи › Задание №18 Т/Р №111 А. Ларина

02 Апр 2015

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №111 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-02 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

На диаметре $AB$ окружности $\omega$ выбрана точка $C$ . На отрезках $AC$ и $BC$ как на диаметрах построены окружности $\omega1$ и $\omega2$ соответственно. Прямая $l$ пересекает окружность $\omega$ в точках $A$ и $D$ , окружность $\omega1$ – в точках $A$ и $E$ , а окружность $\omega2$ – в точках $M$ и $N$ .

а) Докажите, что $MD=NE$ .
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей $\omega$ , $\omega1$ и $\omega2$ , если известно, что $AC=10$ , $BC=6$ .

Решение:

a) Углы $AEC,ADB$ – прямые, так как опираются на диаметры.

$EDBC$ – прямоугольная трапеция.

Проведем среднюю линию $O_2F$ трапеции $EDBC$ ( $O_2$ – центр окружности $\omega2$ ).

Тогда $EF=DF$ (1).

$O_2F$ – высота равнобедренного треугольника $MNO_2$ . Тогда $MF=FN$ . А с учетом (1) получаем: $EM=ND.$

Наконец, $MD=MN+ND=MN+EM=NE$ , то есть $MD=NE$ , что и требовалось доказать.

б) Пусть радиус окружности $\omega 4$ , касающейся окружностей $\omega$ , $\omega1$ и $\omega2$ – это $r.$

Исходя из условия, ясно, что радиусы окружностей $\omega$ , $\omega1$ и $\omega2$ – есть $8,$ $5$ и $3$ соответственно.

Тогда $O_1Q=5+r, OQ=8-r, O_2Q=3+r$ , где $O_1,O, Q$ – центры окружностей $\omega1$ , $\omega$ и $\omega 4$ .

Дважды применяем теорему косинусов (к треугольникам $O_1OQ$ и $O_2OQ$ ):

$(5+r)^2=9+(8-r)^2-6(8-r)cosO_1OQ;$

$(3+r)^2=25+(8-r)^2-10(8-r)cosO_2OQ;$

Так как $cosO_1OQ=-cosO_2OQ,$ то

$(5+r)^2=9+(8-r)^2-6(8-r)\cdot \frac{(3+r)^2-25-(8-r)^2}{10(8-r)};$

$25+10r=9+64-16r-3\cdot \frac{22r-80}{5};$

$125+50r=365-80r-66r+240;$

$196r=480;$

$r=\frac{120}{49}.$

Ответ: $\frac{120}{49}.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (34)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (94)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы