В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
На диаметре окружности
выбрана точка
. На отрезках
и
как на диаметрах построены окружности
и
соответственно. Прямая
пересекает окружность
в точках
и
, окружность
– в точках
и
, а окружность
– в точках
и
.
а) Докажите, что .
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей ,
и
, если известно, что
,
.
Решение:
a) Углы – прямые, так как опираются на диаметры.
– прямоугольная трапеция.
Проведем среднюю линию трапеции
(
– центр окружности
).
Тогда (1).
– высота равнобедренного треугольника
. Тогда
. А с учетом (1) получаем:
Наконец, , то есть
, что и требовалось доказать.
б) Пусть радиус окружности , касающейся окружностей
,
и
– это
Исходя из условия, ясно, что радиусы окружностей ,
и
– есть
и
соответственно.
Тогда , где
– центры окружностей
,
и
.
Дважды применяем теорему косинусов (к треугольникам и
):
Так как то
Ответ:
Добавить комментарий