Задание №18 Т/Р №111 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

На диаметре AB окружности \omega выбрана точка C. На отрезках AC и BC как на диаметрах построены окружности \omega1 и \omega2 соответственно. Прямая l пересекает окружность \omega в точках A и D, окружность \omega1 – в точках A и E, а окружность \omega2 – в точках M и N.

а) Докажите, что MD=NE.
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей \omega, \omega1 и \omega2, если известно, что AC=10, BC=6.

Решение:

a) Углы AEC,ADB – прямые, так как опираются на диаметры.

EDBC – прямоугольная трапеция.

Проведем среднюю линию O_2F трапеции EDBC (O_2 – центр окружности \omega2).

Тогда EF=DF  (1).

O_2F – высота равнобедренного треугольника MNO_2. Тогда MF=FN. А с учетом (1) получаем: EM=ND.

Наконец,  MD=MN+ND=MN+EM=NE, то есть MD=NE, что и требовалось доказать.

б) Пусть радиус окружности \omega 4, касающейся окружностей  \omega, \omega1 и \omega2 –  это r.

Исходя из условия, ясно, что  радиусы окружностей \omega, \omega1 и \omega2 – есть  8,  5  и  3 соответственно.

Тогда O_1Q=5+r, OQ=8-r, O_2Q=3+r, где O_1,O, Q – центры окружностей \omega1,  \omega  и  \omega 4.

Дважды применяем теорему косинусов (к треугольникам O_1OQ и O_2OQ):

(5+r)^2=9+(8-r)^2-6(8-r)cosO_1OQ;

(3+r)^2=25+(8-r)^2-10(8-r)cosO_2OQ;

Так как cosO_1OQ=-cosO_2OQ, то

(5+r)^2=9+(8-r)^2-6(8-r)\cdot \frac{(3+r)^2-25-(8-r)^2}{10(8-r)};

25+10r=9+64-16r-3\cdot \frac{22r-80}{5};

125+50r=365-80r-66r+240;

196r=480;

r=\frac{120}{49}.

Ответ: \frac{120}{49}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif