Задание №16 Т/Р №119 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.

Дана правильная четырехугольной пирамида PABCD с вершиной в точке P. Через точку C и середину ребра AB перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость \alpha.
a) Докажите, что плоскость \alpha делит ребро BP в отношении 2:1, считая от точки B.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \alpha, если известно, что PA=10, AC=16.

Решение:

a) Пусть N – середина  AB. Пусть CN пересекается с BD в точке K.

Так как высота пирамиды PH перпендикулярна плоскости основания ABCD и \alpha \perp (ABCD), то  \alpha \parallel PH.

А значит, \alpha пересечет плоскость BPD, в которой лежит  PH, по прямой (назовем ее  MK (M\in  BP)), параллельной PH.

Сечение NCM – искомое ( во-первых, плоскость сечения содержит прямую MK, перпендикулярную плоскости основания, а значит плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания (по признаку перпендикулярности плоскостей); во-вторых, плоскость сечения содержит точки C и N).

Земетим, треугольники CDK, NBK подобны, k=\frac{CD}{BN}=2. Но тогда и DK:BK=2.

А поскольку DK=BK+2KH, то \frac{BK+2KH}{BK}=2, откуда \frac{KH}{BK}=\frac{1}{2}.

При этом  (по теореме о пропорциональных отрезках) \frac{BM}{MP}=\frac{BK}{KH}=2:1.

Что и требовалось доказать.

б)

S_{NCM}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NC=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}PH\cdot NC=

=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot \sqrt{(8\sqrt2)^2+(4\sqrt2)^2}=8\sqrt{10}.

Ответ: 8\sqrt{10}.

Печать страницы
Комментариев: 8
  1. Елена

    Хорошая задача. Новая. Спасибо, Елена. Завтра на консультации предложу детям порешать. От СтатГрада в тестах уже три задачи были, в которых под а) надо было доказать, что сечение делит ребро в определенном отношении.
    С уважением, Елена.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, Александр Ларин не спит! :)

      [ Ответить ]
  2. Анастасия

    Извините, откуда взялось, что МК=2\3РН?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мы доказали ранее, что BM:MP=2:1, то есть BM:BP=2:3. Это коэффициент подобия треугольников BMK,BPH. Окуда и MK:PH=2:3.

      [ Ответить ]
  3. Елена

    Сегодня прошел экзамен. И в решении задачи 16 были напрямую похожие элементы (построение сечения). Спасибо, Елена!!!! Мы Вас любим!!!!!!!!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Елена, я только решила. А за саму задачу – спасибо А. Ларину!
      ;)

      [ Ответить ]
  4. Валерия

    Здравствуйте ! Почему DK=BK+2КН ?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      DK=DH+KH=BH+KH=
      =(BK+KH)+KH=BK+2KH.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif