Задание №16 Т/Р №119 А. Ларина

2023-06-15

Смотрите также №15№17№18№19№20.

Дана правильная четырехугольной пирамида $PABCD$ с вершиной в точке $P$. Через точку $C$ и середину ребра $AB$ перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость $\alpha$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BP$ в отношении $2:1$, считая от точки $B$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$, если известно, что $PA=10$, $AC=16$.

Решение:

a) Пусть $N$ – середина  $AB$. Пусть $CN$ пересекается с $BD$ в точке $K.$

Так как высота пирамиды $PH$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ и $\alpha \perp (ABCD)$, то  $\alpha \parallel PH$.

А значит, $\alpha$ пересечет плоскость $BPD$, в которой лежит  $PH$, по прямой (назовем ее  $MK$ ($M\in  BP$)), параллельной $PH$.

щшглд

Сечение $NCM$ – искомое ( во-первых, плоскость сечения содержит прямую $MK$, перпендикулярную плоскости основания, а значит плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания (по признаку перпендикулярности плоскостей); во-вторых, плоскость сечения содержит точки $C$ и $N$).

Земетим, треугольники $CDK, NBK$ подобны, $k=\frac{CD}{BN}=2.$ Но тогда и $DK:BK=2.$

А поскольку $DK=BK+2KH$, то $\frac{BK+2KH}{BK}=2,$ откуда $\frac{KH}{BK}=\frac{1}{2}.$

При этом  (по теореме о пропорциональных отрезках) $\frac{BM}{MP}=\frac{BK}{KH}=2:1.$

Что и требовалось доказать.

б)

$S_{NCM}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NC=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}PH\cdot NC=$

$=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot \sqrt{(8\sqrt2)^2+(4\sqrt2)^2}=8\sqrt{10}.$

Ответ: $8\sqrt{10}.$

Печать страницы
комментариев 8
  1. Елена

    Хорошая задача. Новая. Спасибо, Елена. Завтра на консультации предложу детям порешать. От СтатГрада в тестах уже три задачи были, в которых под а) надо было доказать, что сечение делит ребро в определенном отношении.
    С уважением, Елена.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, Александр Ларин не спит! :)

      [ Ответить ]
  2. Анастасия

    Извините, откуда взялось, что МК=2\3РН?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мы доказали ранее, что BM:MP=2:1, то есть BM:BP=2:3. Это коэффициент подобия треугольников BMK,BPH. Окуда и MK:PH=2:3.

      [ Ответить ]
  3. Елена

    Сегодня прошел экзамен. И в решении задачи 16 были напрямую похожие элементы (построение сечения). Спасибо, Елена!!!! Мы Вас любим!!!!!!!!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Елена, я только решила. А за саму задачу – спасибо А. Ларину!
      ;)

      [ Ответить ]
  4. Валерия

    Здравствуйте ! Почему DK=BK+2КН ?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]$DK=DH+KH=BH+KH=$
      $=(BK+KH)+KH=BK+2KH.$

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




5 + 6 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif