В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Дана правильная четырехугольной пирамида с вершиной в точке
. Через точку
и середину ребра
перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость
.
a) Докажите, что плоскость делит ребро
в отношении
, считая от точки
.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью , если известно, что
,
.
Решение:
a) Пусть – середина
. Пусть
пересекается с
в точке
Так как высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания
и
, то
.
А значит, пересечет плоскость
, в которой лежит
, по прямой (назовем ее
(
)), параллельной
.
Сечение – искомое ( во-первых, плоскость сечения содержит прямую
, перпендикулярную плоскости основания, а значит плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания (по признаку перпендикулярности плоскостей); во-вторых, плоскость сечения содержит точки
и
).
Земетим, треугольники подобны,
Но тогда и
А поскольку , то
откуда
При этом (по теореме о пропорциональных отрезках)
Что и требовалось доказать.
б)
Ответ:
Хорошая задача. Новая. Спасибо, Елена. Завтра на консультации предложу детям порешать. От СтатГрада в тестах уже три задачи были, в которых под а) надо было доказать, что сечение делит ребро в определенном отношении.
С уважением, Елена.
Да, Александр Ларин не спит! :)
Извините, откуда взялось, что МК=2\3РН?
Мы доказали ранее, что BM:MP=2:1, то есть BM:BP=2:3. Это коэффициент подобия треугольников BMK,BPH. Окуда и MK:PH=2:3.
Сегодня прошел экзамен. И в решении задачи 16 были напрямую похожие элементы (построение сечения). Спасибо, Елена!!!! Мы Вас любим!!!!!!!!
Елена, я только решила. А за саму задачу – спасибо А. Ларину!
;)
Здравствуйте ! Почему DK=BK+2КН ?