Задание №14 Т/Р №194 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

14. В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=BC=8,AA_1=6$.

Через точки $A$ и $C$ перпендикулярно $BD_1$ проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что плоскость Ω пересекает ребро $B_1C_1$ в такой точке $M$, что $MB_1:MC_1=7:9.$

б) Найдите угол между плоскостями Ω и $ACC_1$.

Решение:

а) Пусть $O$ – центр основания $ABCD.$

Пусть (в плоскости $BDD_1$)  $OT\perp BD_1.$

Плоскость Ω – это плоскость $ACT.$ Действительно, во-первых, $BD_1\perp OT$ и, во-вторых,  $BD_1\perp AC$ (так как и проекция $BD$ наклонной $BD_1$ на плоскость $ABC$ перпендикулярна $AC$).

Построим сечение призмы плоскостью Ω.

Пусть $OT$ плоскости $BB_1D_1$ пересекается с $BB_1$ в точке $E.$

Пусть $AE$ пересекается с $A_1B_1$ в точке $N.$

Пусть $CE$ пересекается с $B_1C_1$ в точке $M.$

Трапеция $ACMN$ – искомое сечение.

Так как

$tgBD_1D=\frac{BD}{DD_1}=\frac{8\sqrt2}{6}=\frac{4\sqrt2}{3}$

и

$tgBD_1D=tgEOB=\frac{BE}{BO}=\frac{BE}{4\sqrt2},$

то

$BE=\frac{32}{3}.$

Тогда $B_1E=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}.$

Стало быть, из подобия треугольников $CC_1M,EB_1M$

  $\frac{MB_1}{MC_1}=\frac{\frac{14}{3}}{6};$

$\frac{MB_1}{MC_1}=\frac{7}{9}.$

 б) Угол между плоскостями Ω и $ACC_1$ – угол между перпендикулярами к плоскостям, то есть угол между $BD_1,BD.$

Из треугольника $BDD_1$

$tgD_1BD=\frac{6}{8\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{8}.$

Итак, угол между плоскостями  Ω и $ACC_1$ – есть $arctg\frac{3\sqrt2}{8}.$

Ответ: б) $arctg\frac{3\sqrt2}{8}.$