Задание №14 Т/Р №194 А. Ларина

2017-04-24

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

14. В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 AB=BC=8,AA_1=6.

Через точки A и C перпендикулярно BD_1 проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что плоскость Ω пересекает ребро B_1C_1 в такой точке M, что MB_1:MC_1=7:9.

б) Найдите угол между плоскостями Ω и ACC_1.

Решение:

а) Пусть O – центр основания ABCD.

Пусть (в плоскости BDD_1)  OT\perp BD_1.

Плоскость Ω – это плоскость ACT. Действительно, во-первых, BD_1\perp OT и, во-вторых,  BD_1\perp AC (так как и проекция BD наклонной BD_1 на плоскость ABC перпендикулярна AC).

Построим сечение призмы плоскостью Ω.

Пусть OT плоскости BB_1D_1 пересекается с BB_1 в точке E.

Пусть AE пересекается с A_1B_1 в точке N.

Пусть CE пересекается с B_1C_1 в точке M.

Трапеция ACMN – искомое сечение.

Так как

tgBD_1D=\frac{BD}{DD_1}=\frac{8\sqrt2}{6}=\frac{4\sqrt2}{3}

и

tgBD_1D=tgEOB=\frac{BE}{BO}=\frac{BE}{4\sqrt2},

то

BE=\frac{32}{3}.

Тогда B_1E=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}.

Стало быть, из подобия треугольников CC_1M,EB_1M

  \frac{MB_1}{MC_1}=\frac{\frac{14}{3}}{6};

\frac{MB_1}{MC_1}=\frac{7}{9}.

 б) Угол между плоскостями Ω и ACC_1 – угол между перпендикулярами к плоскостям, то есть угол между BD_1,BD.

Из треугольника BDD_1

tgD_1BD=\frac{6}{8\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{8}.

Итак, угол между плоскостями  Ω и ACC_1 – есть arctg\frac{3\sqrt2}{8}.

Ответ: б) arctg\frac{3\sqrt2}{8}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

двенадцать + десять =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif