Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В правильной четырехугольной пирамиде 
боковое ребро 
, а сторона основания 
. Через вершину 
перпендикулярно боковому ребру 
проведена плоскость.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.
Решение:
Пусть указанная плоскость (назовем ее 
) пересекает ребро в некоторой точке 
(в дальнейшем мы уточним положение точки на отрезке ). Заметим сразу, что 
.
Пусть 
пересекается с 
(
– проекция вершины на плоскость основания пирамиды) в точке 
.
Плоскость пересекает плоскость 
по некоторой прямой 
, содержащей точку . При этом, 
(действительно, 
, 
– перпендикуляры (т.к. 
) к общей стороне равных треугольников, восстановленные из одной точки, а значит, в силу равенства треугольников 
и 
получаем, что 
).
Соединяем точку с точками 
и 
, получаем искомое сечение 
Диагонали основания (квадрата со сторонами 
) 
и 
равны 
(по т. Пифагора).
Треугольник 
оказывается равносторонним. Тогда высота в нем – медиана, то есть – середина и 
Очевидно, – точка пересечения медиан треугольника , то есть 
.
Тогда из подобия треугольников 
и 
(с коэффициентом подобия 
) имеем: 
Диагонали и четырехугольника 
перпендикулярны. Действительно, проекция наклонной на плоскость 
перпендикулярна прямой этой плоскости, а значит, по т. о трех перпендикулярах 
. А учитывая, что , получаем, что и 
Тогда 
Ответ: 
Добавить комментарий