В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро
, а сторона основания
. Через вершину
перпендикулярно боковому ребру
проведена плоскость.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.
Решение:
Пусть указанная плоскость (назовем ее ) пересекает ребро
в некоторой точке
(в дальнейшем мы уточним положение точки на отрезке
). Заметим сразу, что
.
Пусть пересекается с
(
– проекция вершины на плоскость основания пирамиды) в точке
.
Плоскость пересекает плоскость
по некоторой прямой
, содержащей точку
. При этом,
(действительно,
,
– перпендикуляры (т.к.
) к общей стороне равных треугольников, восстановленные из одной точки, а значит, в силу равенства треугольников
и
получаем, что
).
Соединяем точку с точками
и
, получаем искомое сечение
Диагонали основания (квадрата со сторонами )
и
равны
(по т. Пифагора).
Треугольник оказывается равносторонним. Тогда высота
в нем – медиана, то есть
– середина
и
Очевидно, – точка пересечения медиан треугольника
, то есть
.
Тогда из подобия треугольников и
(с коэффициентом подобия
) имеем:
Диагонали и
четырехугольника
перпендикулярны. Действительно, проекция
наклонной
на плоскость
перпендикулярна прямой
этой плоскости, а значит, по т. о трех перпендикулярах
. А учитывая, что
, получаем, что и
Тогда
Ответ:
Добавить комментарий