Задание №16 Т/Р №99 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA=6, а сторона основания AB=3\sqrt2. Через вершину A перпендикулярно боковому  ребру PC проведена плоскость.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.

Решение:

Пусть указанная плоскость (назовем ее \alpha) пересекает ребро PC  в некоторой точке N (в дальнейшем мы уточним положение точки на отрезке PC). Заметим сразу, что AN\perp PC.

Пусть AN пересекается  с PH (H – проекция вершины на плоскость основания пирамиды) в точке O.

Плоскость \alpha пересекает плоскость BPD по некоторой прямой  LM, содержащей точку O. При этом, LM\parallel BD (действительно, LN, MN – перпендикуляры (т.к. PC\perp \alpha) к общей стороне равных треугольников, восстановленные из одной точки, а значит, в силу равенства треугольников LPN и MPN  получаем, что LP=MP).

Соединяем точку A с точками M и L, получаем искомое сечение AMNL.

Диагонали основания (квадрата со сторонами 3\sqrt2) AC и BD равны 6 (по т. Пифагора).

Треугольник ACP оказывается равносторонним. Тогда высота AN в нем – медиана, то есть N – середина PC и AN=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3.

Очевидно, O – точка пересечения медиан треугольника ACP, то есть PO:OH=2:1.

Тогда из подобия треугольников LPM и DPB (с коэффициентом подобия 2:3) имеем: LM=\frac{2}{3}BD=4.

Диагонали LM и AN четырехугольника AMNL перпендикулярны. Действительно, проекция AC наклонной AN на плоскость ABC перпендикулярна прямой BD этой плоскости, а значит, по т. о трех перпендикулярах AN\perp BD. А учитывая, что LM\parallel BD, получаем, что и AN\perp LM.

 Тогда S_{AMNL}=\frac{1}{2}\cdot LM\cdot AN\cdot sin90^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\sqrt3=6\sqrt3.

Ответ: 6\sqrt3.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif