Задание №13 Т/Р №162 А. Ларина

Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

13. Дано уравнение $(2x-2)^2\cdot (x+1)^2-\sqrt2(x^2-1)-6=0.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-\sqrt2;\sqrt[3]{4}]$.

Решение:

a)

 $(2x-2)^2\cdot (x+1)^2-\sqrt2(x^2-1)-6=0;$

 $4(x-1)^2\cdot (x+1)^2-\sqrt2(x^2-1)-6=0;$

$4(x^2-1)^2-\sqrt2(x^2-1)-6=0;$

Наблюдаем  квадратное уравнение относительно $(x^2-1).$

$x^2-1=\frac{\sqrt2\pm 7\sqrt{2}}{8};$

$x^2-1=\sqrt2$ или $x^2-1=-\frac{3\sqrt2}{4};$

$x^2=1+\sqrt2$ или $x^2=1-\frac{3\sqrt2}{4}$.

Так как $1-\frac{3\sqrt2}{4}=\frac{4-3\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt{16}-\sqrt{18}}{4}<0,$ то остается только вариант $x^2=1+\sqrt2.$

Откуда

$x=\pm \sqrt{1+\sqrt2}.$

б) Проверим, входят ли корни $\pm \sqrt{1+\sqrt2}$ в промежуток $[-\sqrt2;\sqrt[3]{4}]$.

Так как

$\sqrt{1+\sqrt2}>\sqrt{1+1}=\sqrt2,$ а значит, $-\sqrt{1+\sqrt2}<-\sqrt2,$ то

 $-\sqrt{1+\sqrt2}$ не входит в $[-\sqrt2;\sqrt[3]{4}]$.

Так как

$\sqrt[3]{4}=\sqrt[6]{16},$

а

$0<\sqrt{1+\sqrt2}=\sqrt[6]{(1+\sqrt2)^3}=\sqrt[6]{7+5\sqrt2}<\sqrt[6]{7+9}=\sqrt[6]{16},$

то

$\sqrt{1+\sqrt2}$  входит в $[-\sqrt2;\sqrt[3]{4}]$.

Ответ:

a) $\pm \sqrt{1+\sqrt2}.$

б) $\sqrt{1+\sqrt2}$.