Задание №19 Т/Р №162 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №162 А. Ларина

19. Рассматриваются дроби вида $\frac{n}{n+1},$ где $n\in N.$

а) Может ли сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ быть целым числом?

б) Может ли сумма двух различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ равняться дроби вида $\frac{n}{n+1}$?

в) Найдите наименьшее количество попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1},$ сумма которых больше $10.$

Решение:

а) Да, сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ может быть целым числом, например,

$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=2.$

б) Нет, сумма двух различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ не может равняться дроби вида $\frac{n}{n+1}$.

Допустим, сумма $\frac{n_1}{n_1+1}+\frac{n_2}{n_2+1}$ имеет вид $\frac{n}{n+1}.$

Посмотрим, будет ли для полученной суммы разность знаменателя и числителя равняться $1$.

$(n_1+1)(n_2+1)-n_1(n_2+1)-n_2(n_1+1)=$

$=n_1n_2+n_1+n_2+1-n_1n_2-n_1-n_1n_2-n_2=1-n_1n_2\neq 1$ (на $N$, при условии, что  $n_1,n_2$ различны).

Нет.

в) Заметим, что $\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.$ Каждая дробь вида  $\frac{n}{n+1}<1,$ поэтому, очевидно, десяти слагаемых вида $\frac{n}{n+1}$ для получения суммы, большей $10$, недостаточно.

Верно ли, что сумма одиннадцати попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ больше $10$? Попробуем подобрать нужную нам сумму.

$\frac{n_1}{n_1+1}+\frac{n_2}{n_2+1}+…+\frac{n_{11}}{n_{11}+1}=11-(\frac{1}{n_1+1}+\frac{1}{n_2+1}+…+\frac{1}{n_{11}+1}).$

Нам важно, чтобы сумма $\frac{1}{n_1+1}+\frac{1}{n_2+1}+…+\frac{1}{n_{11}+1}$ была бы меньше $1$. Поскольку слагаемых $11$ штук, то подберем дроби $\frac{1}{n_1+1}, \frac{1}{n_2+1},…,\frac{1}{n_{11}+1}$ так, чтобы каждая из них была бы меньше $\frac{1}{11}.$ Для этого достаточно взять, например, $n_1=11, n_2=12,…,n_{11}=21.$

Итак, наименьшее количество попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1},$ сумма которых больше $10$, – это $11$. Например, $\frac{11}{12}+\frac{12}{13}+…+\frac{21}{22}>10$.

Ответ:

а) да;

б) нет;

в) 11.