Задание №19 Т/Р №162 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-15 2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №162 А. Ларина

19. Рассматриваются дроби вида $\frac{n}{n+1},$ где $n\in N.$

а) Может ли сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ быть целым числом?

б) Может ли сумма двух различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ равняться дроби вида $\frac{n}{n+1}$ ?

в) Найдите наименьшее количество попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1},$ сумма которых больше $10.$

Решение:

а) Да, сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ может быть целым числом, например,

$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=2.$

б) Нет, сумма двух различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ не может равняться дроби вида $\frac{n}{n+1}$ .

Допустим, сумма $\frac{n_1}{n_1+1}+\frac{n_2}{n_2+1}$ имеет вид $\frac{n}{n+1}.$

Посмотрим, будет ли для полученной суммы разность знаменателя и числителя равняться $1$ .

$(n_1+1)(n_2+1)-n_1(n_2+1)-n_2(n_1+1)=$

$=n_1n_2+n_1+n_2+1-n_1n_2-n_1-n_1n_2-n_2=1-n_1n_2\neq 1$ (на $N$ , при условии, что $n_1,n_2$ различны).

Нет.

в) Заметим, что $\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.$ Каждая дробь вида $\frac{n}{n+1}<1,$ поэтому, очевидно, десяти слагаемых вида $\frac{n}{n+1}$ для получения суммы, большей $10$ , недостаточно.

Верно ли, что сумма одиннадцати попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ больше $10$ ? Попробуем подобрать нужную нам сумму.

$\frac{n_1}{n_1+1}+\frac{n_2}{n_2+1}+...+\frac{n_{11}}{n_{11}+1}=11-(\frac{1}{n_1+1}+\frac{1}{n_2+1}+...+\frac{1}{n_{11}+1}).$

Нам важно, чтобы сумма $\frac{1}{n_1+1}+\frac{1}{n_2+1}+...+\frac{1}{n_{11}+1}$ была бы меньше $1$ . Поскольку слагаемых $11$ штук, то подберем дроби $\frac{1}{n_1+1}, \frac{1}{n_2+1},...,\frac{1}{n_{11}+1}$ так, чтобы каждая из них была бы меньше $\frac{1}{11}.$ Для этого достаточно взять, например, $n_1=11, n_2=12,...,n_{11}=21.$

Итак, наименьшее количество попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1},$ сумма которых больше $10$ , – это $11$ . Например, $\frac{11}{12}+\frac{12}{13}+...+\frac{21}{22}>10$ .