Задание №19 Т/Р №162 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№14№15№16№17; №18 Тренировочной работы №162 А. Ларина

19. Рассматриваются дроби вида \frac{n}{n+1}, где n\in N.

а) Может ли сумма нескольких попарно различных дробей вида \frac{n}{n+1} быть целым числом?

б) Может ли сумма двух различных дробей вида \frac{n}{n+1} равняться дроби вида \frac{n}{n+1}?

в) Найдите наименьшее количество попарно различных дробей вида \frac{n}{n+1}, сумма которых больше 10.

Решение:

а) Да, сумма нескольких попарно различных дробей вида \frac{n}{n+1} может быть целым числом, например,

\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=2.

б) Нет, сумма двух различных дробей вида \frac{n}{n+1} не может равняться дроби вида \frac{n}{n+1}.

Допустим, сумма \frac{n_1}{n_1+1}+\frac{n_2}{n_2+1} имеет вид \frac{n}{n+1}.

Посмотрим, будет ли для полученной суммы разность знаменателя и числителя равняться 1.

(n_1+1)(n_2+1)-n_1(n_2+1)-n_2(n_1+1)=

=n_1n_2+n_1+n_2+1-n_1n_2-n_1-n_1n_2-n_2=1-n_1n_2\neq 1 (на N, при условии, что  n_1,n_2 различны).

Нет.

в) Заметим, что \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. Каждая дробь вида  \frac{n}{n+1}<1, поэтому, очевидно, десяти слагаемых вида \frac{n}{n+1} для получения суммы, большей 10, недостаточно.

Верно ли, что сумма одиннадцати попарно различных дробей вида \frac{n}{n+1} больше 10? Попробуем подобрать нужную нам сумму.

\frac{n_1}{n_1+1}+\frac{n_2}{n_2+1}+...+\frac{n_{11}}{n_{11}+1}=11-(\frac{1}{n_1+1}+\frac{1}{n_2+1}+...+\frac{1}{n_{11}+1}).

Нам важно, чтобы сумма \frac{1}{n_1+1}+\frac{1}{n_2+1}+...+\frac{1}{n_{11}+1} была бы меньше 1. Поскольку слагаемых 11 штук, то подберем дроби \frac{1}{n_1+1}, \frac{1}{n_2+1},...,\frac{1}{n_{11}+1} так, чтобы каждая из них была бы меньше \frac{1}{11}. Для этого достаточно взять, например, n_1=11, n_2=12,...,n_{11}=21.

Итак, наименьшее количество попарно различных дробей вида \frac{n}{n+1}, сумма которых больше 10, – это 11. Например, \frac{11}{12}+\frac{12}{13}+...+\frac{21}{22}>10.

Ответ:

а) да;

б) нет;

в) 11.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif