Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина
14. В правильной пирамиде точки
– середины ребер
и
соответственно.
а) Докажите, что объем пирамиды составляет четверть объема пирамиды
.
б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки , если известно, что
.
Решение:
a) Пусть – середина
Пусть объем пирамиды
–
Рассмотрим октаэдр (составлен из двух пирамид с общим основанием
). Его ребра – средние линии треугольников, являющихся гранями исходной пирамиды
Пирамиды подобны пирамиде
Тогда объем каждой из малых указанных пирамид –
Стало быть, объем октаэдра – есть половина объема пирамиды
, так как
Покажем, что пирамиды имеют равные объемы. Это и будет доказывать то, что объем пирамиды
составляет четверть объема пирамиды
.
Заметим, противоположные ребра правильной пирамиды перпендикулярны. Например, ребро проецируется на высоту основания
, но
и
перпендикулярны. Применяя теорему о трех перпендикулярах, и получаем перпендикулярность противоположных ребер пирамиды.
Четырехугольник – не только параллелограмм, но и прямоугольник. Диагонали его
равны.
Также и параллелограмм – прямоугольник, а значит,
Причем точки
лежат на одной прямой. Но тогда точки
и
равноудалены от плоскости
Пирамиды , имея одинаковые основания и равные высоты, имеют и равные объемы.
Итак, объем пирамиды составляет четверть объема пирамиды
.
б) Отрезок являясь медианой прямоугольного треугольника
с катетами
и
равен половине гипотенузы, то есть
Точка при этом, являясь точкой пересечения диагоналей прямоугольника со сторонами
и
удалена от точек
также на расстояние
Итак, точка удалена от точек
и
на одно и тоже расстояние, а значит
– центр описанной сферы около пирамиды
. Радиус этой сферы –
Ответ: б) .
Добавить комментарий