Задание №14 Т/Р №170 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина

14. В правильной пирамиде точки – середины ребер и соответственно.

а) Докажите, что объем пирамиды составляет четверть объема пирамиды .
б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки , если известно, что .

Решение:

a) Пусть – середина Пусть объем пирамиды –

Рассмотрим октаэдр (составлен из двух пирамид с общим основанием ). Его ребра – средние линии треугольников, являющихся гранями исходной пирамиды

Пирамиды подобны пирамиде Тогда объем каждой из малых указанных пирамид –

Стало быть, объем октаэдра – есть половина объема пирамиды , так как

Покажем, что пирамиды имеют равные объемы. Это и будет доказывать то, что объем пирамиды  составляет четверть объема пирамиды .

Заметим, противоположные ребра правильной пирамиды перпендикулярны. Например, ребро проецируется на высоту основания , но и перпендикулярны. Применяя теорему о трех перпендикулярах, и получаем перпендикулярность противоположных ребер пирамиды.

Четырехугольник – не только параллелограмм, но и прямоугольник. Диагонали его равны.

Также и параллелограмм – прямоугольник, а значит, Причем точки лежат на одной прямой. Но тогда точки и равноудалены от плоскости

Пирамиды , имея одинаковые основания и равные высоты, имеют и равные объемы.

Итак, объем пирамиды  составляет четверть объема пирамиды .

б) Отрезок  являясь медианой прямоугольного треугольника с катетами и равен половине гипотенузы, то есть

Точка при этом, являясь точкой пересечения диагоналей прямоугольника со сторонами и удалена от точек  также на расстояние

Итак, точка удалена от точек и  на одно и тоже расстояние, а значит – центр описанной сферы около пирамиды . Радиус этой сферы –

Ответ: б) .