Задание №14 Т/Р №170 А. Ларина

2016-11-09

Смотрите также №13№15№16№17№18№19 Тренировочной работы №170 А. Ларина

14. В правильной пирамиде PABC точки E,F,K,M,N – середины ребер AC,BC,PA,PB и PC соответственно.

а) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.
б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, E, F, M, K, если известно, что AB=8, AP=6.

Решение:

a) Пусть L – середина AB. Пусть объем пирамиды ABCPS.

Рассмотрим октаэдр KMFENL (составлен из двух пирамид с общим основанием KMFE). Его ребра – средние линии треугольников, являющихся гранями исходной пирамиды ABCP.

Пирамиды ALEK,KMNP,EFCN,LBFM подобны пирамиде ABCP, k=2. Тогда объем каждой из малых указанных пирамид – \frac{S}{8}.

Стало быть, объем октаэдра KMFENL – есть половина объема пирамиды ABCP, так как S-4\cdot \frac{S}{8}=\frac{S}{2}.

Покажем, что пирамиды KMFEN,KMFEL имеют равные объемы. Это и будет доказывать то, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

Заметим, противоположные ребра правильной пирамиды перпендикулярны. Например, ребро AP проецируется на высоту основания AF, но AF и BC перпендикулярны. Применяя теорему о трех перпендикулярах, и получаем перпендикулярность противоположных ребер пирамиды.

Четырехугольник KMFE – не только параллелограмм, но и прямоугольник. Диагонали его KF,ME равны.

Также и параллелограмм LKNF – прямоугольник, а значит, LO=ON. Причем точки L,O,N лежат на одной прямой. Но тогда точки L и N равноудалены от плоскости KMFE.

Пирамиды KMFEN,KMFEL, имея одинаковые основания и равные высоты, имеют и равные объемы.

Итак, объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

б) Отрезок ON, являясь медианой прямоугольного треугольника KNF с катетами 3 и 4, равен половине гипотенузы, то есть 2,5.

 

Точка O при этом, являясь точкой пересечения диагоналей прямоугольника со сторонами 3 и 4, удалена от точек K,E,F,M  также на расстояние 2,5.

Итак, точка O удалена от точек K,E,F,M и N  на одно и тоже расстояние, а значит O – центр описанной сферы около пирамиды NEFMK. Радиус этой сферы – 2,5.

Ответ: б) 2,5.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif