Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина
15. Решите неравенство $|3^{x+1}-9^x|+|9^x-5\cdot 3^x+6|\leq 6-2\cdot 3^x.$
Решение:
Воспользуясь свойствами модулей
$|a+b|\leq |a|+|b|,$ $a\leq |a|,$
получим:
$|6-2\cdot 3^x|\leq |3^{x+1}-9^x|+|9^x-5\cdot 3^x+6|\leq |6-2\cdot 3^x|,$
откуда
$|3^{x+1}-9^x|+|9^x-5\cdot 3^x+6|=|6-2\cdot 3^x|.$
Замечая, что $(3^{x+1}-9^x)+(9^x-5\cdot 3^x+6)=6-2\cdot 3^x$, получаем:
$3^{x+1}-9^x\geq 0$ и $9^x-5\cdot 3^x+6\geq 0$ (1)
или
$3^{x+1}-9^x\leq 0$ и $9^x-5\cdot 3^x+6\leq 0$ (2)
Рассмотрим (1):
$3^x(3-3^x)\geq 0$ и $(3^x-2)(3^x-3)\geq 0;$
$x\leq 1$ и $(x-log_32)(x-1)\geq 0;$
Рассмотрим (2):
$3^x(3-3^x)\leq 0$ и $(3^x-2)(3^x-3)\leq 0;$
$x\geq 1$ и $(x-log_32)(x-1)\leq 0;$
Стало быть,
$x\in (-\infty;log_32)\cup ${$1$}.
Ответ: $(-\infty;log_32)\cup \{1\}.$
Добавить комментарий