Задание №16 Т/Р №194 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

16. Точки и – середины сторон и выпуклого четырехугольника . Диагональ проходит через середину отрезка .

а) Докажите, что площади треугольников и равны.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если известно, что а площадь четырехугольника равна .

Решение:

a) По свойству медианы треугольника (медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника) площади треугольников а также равны.

То есть для того, чтобы площади треугольников и  были равны, достаточно показать, что равны площади треугольников

и ,

где – точка пересечения .

Опять же, по свойству медианы треугольника, площади треугольников и равны. Стало быть, откуда и

б) Так как то

Далее,

Откуда то есть треугольник – прямоугольный.

Тогда, если – радиус окружности, вписанной в треугольник , то

Ответ: б)