Задание №16 Т/Р №194 А. Ларина

2017-04-24

Смотрите также №13№14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

16. Точки M и P – середины сторон BC и AD выпуклого четырехугольника ABCD. Диагональ AC проходит через середину отрезка MP.

а) Докажите, что площади треугольников ABC и ACD равны.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABM, если известно, что AB=12,BC=10, а площадь четырехугольника AMCP равна 60.

Решение:

a) По свойству медианы треугольника (медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника) площади треугольников ABM,AMC а также ACP,DCP равны.

То есть для того, чтобы площади треугольников ABC и ACD  были равны, достаточно показать, что равны площади треугольников AMC,APC.

S_{AMC}=S_{AMT}+S_{MCT} и S_{ACP}=S_{APT}+S_{CPT},

где T – точка пересечения MP,AC.

Опять же, по свойству медианы треугольника, площади треугольников MCT,CPT и AMT,APT равны. Стало быть, S_{AMC}=S_{ACP}, откуда и S_{ABC}=S_{ADC}.

б) Так как S_{AMCP}=60, то S_{AMC}=S_{ABM}=30.

Далее,

30=S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5\cdot sinB.

Откуда sinB=1, то есть треугольник ABM – прямоугольный.

Тогда, если r– радиус окружности, вписанной в треугольник ABM, то

r=\frac{AB+BM-AM}{2}=\frac{12+5-\sqrt{12^2+5^2}}{2}=2.

Ответ: б) 2.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

три + 5 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif