Задание №16 Т/Р №194 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

16. Точки $M$ и $P$ – середины сторон $BC$ и $AD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$. Диагональ $AC$ проходит через середину отрезка $MP$.

а) Докажите, что площади треугольников $ABC$ и $ACD$ равны.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABM$, если известно, что $AB=12,BC=10,$ а площадь четырехугольника $AMCP$ равна $60$.

Решение:

a) По свойству медианы треугольника (медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника) площади треугольников $ABM,AMC$ а также $ACP,DCP$ равны.

То есть для того, чтобы площади треугольников $ABC$ и $ACD$  были равны, достаточно показать, что равны площади треугольников $AMC,APC.$

$S_{AMC}=S_{AMT}+S_{MCT}$ и $S_{ACP}=S_{APT}+S_{CPT}$,

где $T$ – точка пересечения $MP,AC$.

Опять же, по свойству медианы треугольника, площади треугольников $MCT,CPT$ и $AMT,APT$ равны. Стало быть, $S_{AMC}=S_{ACP},$ откуда и $S_{ABC}=S_{ADC}.$

б) Так как $S_{AMCP}=60,$ то $S_{AMC}=S_{ABM}=30.$

Далее,

$30=S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5\cdot sinB.$

Откуда $sinB=1,$ то есть треугольник $ABM$ – прямоугольный.

Тогда, если $r$– радиус окружности, вписанной в треугольник $ABM$, то

$r=\frac{AB+BM-AM}{2}=\frac{12+5-\sqrt{12^2+5^2}}{2}=2.$

Ответ: б) $2.$