Задание №17 Т/Р №194 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

17. На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно затратить не более $140$ рублей. Тетрадь в клетку стоит $3$ руб., в линейку – $2$ руб. Число купленных тетрадей в клетку не должно отличаться от числа тетрадей в линейку более, чем на $9$. Необходимо купить максимально возможное суммарное количество тетрадей, при этом тетрадей в линейку нужно купить как можно меньше. Сколько тетрадей в клетку и сколько в линейку можно купить при указанных условиях?

Решение:

Пусть куплено $x$ тетрадей в клетку, $y$ тетрадей в линейку.

Тогда

$3x+2y\leq 140$    и   $|x-y|\leq 9$ 

или

$3x+2y\leq 140$ (1)   и   $-9\leq x-y\leq 9$  (2)

Нас интересует максимально возможная сумма $x+y,$ при условии, что $y$ – минимально при заданных условиях.

Имеем (из 2):

$x\geq y-9$.

Откуда с учетом (1):

 $140\geq 3x+2y\geq 5y-27;$

$140\geq 5y-27;$

$y\leq 33.$

Также (из 2):

$y\geq x-9$.

Откуда с учетом (1):

 $140\geq 3x+2y\geq 5x-18;$

$140\geq 5x-18;$

$x\leq 31.$

Если допустить, что $x\leq 24$, то

$3x+2y\leq 72+2y\leq 138.$

То есть на покупку тетрадей будет потрачено не больше $138$ рублей, то есть как минимум, $2$ рубля не будут вложено в покупку тетрадей, а ведь мы преследуем покупку как можно большего числа тетрадей.

Итак, располагаем следующими ограничениями: $25\leq x\leq 31$  и  $y\leq 33.$

Пусть $x=31.$ Тогда $y=23.$ Куплено тетрадей $54.$ Потрачено $139$ рублей.

Пусть $x=30.$ Тогда $y=25.$ Куплено тетрадей $55.$ Потрачено $140$ рублей.

Пусть $x=29.$ Тогда $y=26.$ Куплено тетрадей $55.$ Потрачено $139$ рублей.

Пусть $x=28.$ Тогда $y=28.$ Куплено тетрадей $56.$ Потрачено $140$ рублей.

Пусть $x=27.$ Тогда $y=29.$ Куплено тетрадей $56.$ Потрачено $139$ рублей.

Пусть $x=26.$ Тогда $y=31.$ Куплено тетрадей $57.$ Потрачено $140$ рублей.

Пусть $x=25.$ Тогда $y=32.$ Куплено тетрадей $57.$ Потрачено $139$ рублей.

Вариант $x=26, y=31$ отвечает требованиям задачи.

Ответ: $26; 31.$